par M. Bourne
Nous avons rencontré les aires sous les courbes plus tôt dans la section Intégration (voir 3. Aire sous une courbe), mais ici nous développons davantage le concept. (Vous pouvez également être intéressé par Archimède et l’aire d’un segment parabolique, où nous apprenons qu’Archimède a compris les idées derrière le calcul, 2000 ans avant Newton et Leibniz !)
Il est important d’esquisser la situation avant de commencer.
Nous souhaitons trouver l’aire sous la courbe `y = f(x)` de `x = a` à `x = b`.
Nous pouvons avoir plusieurs situations :
Cas 1 : les courbes qui sont entièrement au-dessus de l’axe des x.
La courbe y = f(x), entièrement au-dessus de l’axe des x. Montre un rectangle « typique », Δx de large et y de haut.
Dans ce cas, on trouve l’aire en trouvant simplement l’intégrale :
` »Aire »=int_a^bf(x)dx`
D’où vient cette formule ?
Continue ci-dessous ⇩
Mini-conférences vidéo
Pour un peu de contexte :
Minicours sur l’intégration
Différence entre les intégrales indéfinies et les intégrales définies
Intégration par substitution
Aire sous une courbe selon les premiers principes
Dans le schéma ci-dessus, on représente un « rectangle typique » de largeur `Δx` et de hauteur `y`. Son aire est `yΔx`.
Si l’on additionne tous ces rectangles typiques, en partant de `a` et en terminant à `b`, l’aire est approximativement de :
Somme_{x=a}^\b(y)Deltax`
Maintenant si on laisse `Δx → 0`, on peut trouver l’aire exacte par intégration :
` »Aire »=int_a^bf(x)dx`
Cela découle des sommes de Riemann, du chapitre Introduction à l’intégration.
Exemple du cas 1
Vous avez besoin de papier millimétré ?
Trouvez l’aire sous la courbe `y = x^2+ 2` de `x = 1` à `x = 2`.
Réponse
La courbe y = x2 + 2, en montrant la portion sous la courbe de x = 1 à x = 2.
`texte = int_a^b f(x) dx`
`=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2`
`=13/3\ texte^2`
Cas 2 : Courbes entièrement sous l’axe des x
Nous considérons le cas où la courbe est sous l’axe `x` pour la plage de valeurs `x` considérée.
Dans ce cas, l’intégrale donne un nombre négatif. Nous devons prendre la valeur absolue de celui-ci pour trouver notre aire :
` »Aire »=|int_a^bf(x)dx|
Exemple du cas 2
Trouver l’aire délimitée par `y = x^2 – 4`, l’axe `x` et les droites `x = -1` et `x = 2`.
Réponse
La courbe y = x2 – 4, montrant la partie sous la courbe de x = -1 à x = 2.
L’aire requise est totalement sous l’axe `x` dans cet exemple, nous devons donc utiliser les signes de valeur absolue.
`text = |int_a^bf(x) dx|`
`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|`
`=||`
=|-9|`
`=9\ text^2`
Cas 3 : Une partie de la courbe est en dessous de l’axe des x, une partie est au-dessus de l’axe des x
Dans ce cas, il faut faire la somme des différentes parties, en prenant la valeur absolue pour la section où la courbe est en dessous de l’axe des `x` (de `x = a` à `x = c`).
` »Aire »=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
Si on ne procède pas ainsi , l’aire « négative » (la partie sous l’axe `x`) sera soustraite de la partie « positive », et notre aire totale ne sera pas correcte.
Exemple du cas 3
Quel est l’aire délimitée par la courbe `y = x^3`, `x = -2` et `x = 1` ?
Réponse
La courbe y = x3, montrant la portion sous la courbe de x = -2 à x = 1.
On voit sur le graphique que la portion comprise entre `x = -2` et `x = 0` est sous l’axe des x, il faut donc prendre la valeur absolue de cette portion.
`text= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`
`=|_-2^0|+_0^1`
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`=4+1/4`
`=4.25\ texte^2`
Ne faites pas comme ça !
Si vous vous contentez de trouver aveuglément l’intégrale de la limite inférieure à la limite supérieure, vous n’obtiendrez pas l’aire réelle dans de tels cas.
`text= int_(-2)^1x^3 dx`
`=_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3,25`
Ce n’est pas la bonne réponse pour l’aire sous la courbe. C’est la valeur de l’intégrale, mais il est clair qu’une aire ne peut pas être négative.
Il est toujours préférable d’esquisser la courbe avant de trouver les aires sous les courbes.
Résumé (jusqu’ici)
Dans chacun des cas 1, 2 et 3, nous additionnons les éléments de gauche à droite, comme ceci :
Nous trouvons (effectivement) l’aire en additionnant horizontalement les aires des rectangles, de largeur `dx` et de hauteur `y` (que nous trouvons en substituant les valeurs de `x` dans `f(x)`).
Donc
`A=int_a^bf(x)dx`
(avec les signes de valeur absolue quand c’est nécessaire, si la courbe passe sous l’axe `x`).
Cas 4 : Certaines courbes sont beaucoup plus faciles à additionner verticalement
Dans certains cas, il est plus facile de trouver l’aire si on fait des sommes verticales. Parfois, la seule façon possible est de faire une somme verticale.
Dans ce cas, on trouve que l’aire est la somme des rectangles, de hauteurs `x = f(y)` et de largeurs `dy`.
Si on nous donne `y = f(x)`, alors il faut réexprimer cela par `x = f(y)` et il faut faire la somme de bas en haut.
Donc, dans le cas 4, nous avons :
`A=int_c^df(y)dy`
Exemple du cas 4
Trouve l’aire de la région délimitée par la courbe `y=sqrt(x-1)`, l’axe `y` et les droites `y = 1` et `y = 5`.
Réponse
Esquisse d’abord :
La courbe x = y2 + 1, montrant la partie « sous » la courbe de y = 1 à y = 5.
Dans ce cas, on exprime x en fonction de y :
`y=sqrt{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1`
Donc l’aire est donnée par :
`A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3\ text`
Note : Pour cet exemple particulier, nous aurions également pu faire la somme horizontalement (en intégrant `y` et en utilisant `dx`), mais il faudrait d’abord la décomposer en sections.
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