Por M. Bourne
Conocemos las áreas bajo curvas anteriormente en la sección de Integración (ver 3. Área bajo una curva), pero aquí desarrollamos el concepto más allá. (También puede interesarte Arquímedes y el área de un segmento parabólico, donde aprendemos que Arquímedes entendió las ideas que sustentan el cálculo, ¡2000 años antes que Newton y Leibniz!)
Es importante hacer un esquema de la situación antes de empezar.
Deseamos encontrar el área bajo la curva `y = f(x)` desde `x = a` hasta `x = b`.
Podemos tener varias situaciones:
Caso 1: Curvas que están totalmente por encima del eje x.
En este caso, encontramos el área simplemente hallando la integral:
`»Área»=int_a^bf(x)dx`
¿De dónde viene esta fórmula?
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Para ponerte en antecedentes:
Minilección de integración
Diferencia entre integrales indefinidas y definidas
Integración por sustitución
Área bajo una curva a partir de los primeros principios
En el diagrama anterior, se muestra un «rectángulo típico» con anchura `Δx` y altura `y`. Su área es `yΔx`.
Si sumamos todos estos rectángulos típicos, empezando por `a` y terminando en `b`, el área es aproximadamente:
`suma_{x=a}^b(y)Deltax`
Ahora, si dejamos que `Δx → 0`, podemos encontrar el área exacta por integración:
`»Área»=int_a^bf(x)dx`
Esto se deduce de las Sumas de Riemann, del capítulo de Introducción a la Integración.
Ejemplo del caso 1
¿Necesitas papel milimetrado?
Responde
La curva y = x2 + 2, muestra la porción bajo la curva desde x = 1 hasta x = 2.
`texto = int_a^b f(x) dx`
`=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2`
`=13/3 texto^2`
`=13/3\2`
Caso 2: Curvas que están totalmente por debajo del eje x
Consideramos el caso en el que la curva está por debajo del eje `x` para el rango de valores de `x` que se está considerando.
En este caso, la integral da un número negativo. Tenemos que tomar el valor absoluto de éste para encontrar nuestra área:
`»Área»=|int_a^bf(x)dx|`
Ejemplo del caso 2
Encuentra el área delimitada por `y = x^2 – 4`, el eje `x` y las rectas `x = -1` y `x = 2`.
Respuesta
La curva y = x2 – 4, mostrando la porción bajo la curva desde x = -1 hasta x = 2.
`text = |int_a^bf(x) dx|
`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|
`=||
`=9\ text^2`
Caso 3: Una parte de la curva está por debajo del eje x, y otra por encima del eje x
En este caso, tenemos que sumar las partes individuales, tomando el valor absoluto para la sección donde la curva está por debajo del eje `x` (desde `x = a` hasta `x = c`).
`»Área»=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
Si no lo hacemos así, el área «negativa» (la parte por debajo del eje `x`) se restará de la parte «positiva», y nuestra área total no será correcta.
Ejemplo del caso 3
¿Cuál es el área delimitada por la curva `y = x^3`, `x = -2` y `x = 1`?
Respuesta
Podemos ver en la gráfica que la porción entre `x = -2` y `x = 0` está por debajo del eje x, por lo que tenemos que tomar el valor absoluto de esa porción.
`text= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`
`=|_-2^0|+_0^1`
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`=4+1/4`
`=4.25\ texto^2`
¡No lo hagas así!
Si te limitas a encontrar a ciegas la integral del límite inferior al superior, no obtendrás el área real en estos casos.
`text= int_(-2)^1x^3 dx`
`=_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3,25`
Esta no es la respuesta correcta para el área bajo la curva. Es el valor de la integral, pero está claro que un área no puede ser negativa.
Siempre es mejor dibujar la curva antes de encontrar áreas bajo curvas.
Resumen (hasta ahora)
En cada uno de los casos 1, 2 y 3, estamos sumando elementos de izquierda a derecha, así:
Estamos (efectivamente) encontrando el área sumando horizontalmente las áreas de los rectángulos, de anchura `dx` y de altura `y` (que encontramos sustituyendo valores de `x` en `f(x)`).
Entonces
`A=int_a^bf(x)dx`
(con signos de valor absoluto cuando sea necesario, si la curva pasa por debajo del eje `x`).
Caso 4: Ciertas curvas son mucho más fáciles de sumar verticalmente
En algunos casos, es más fácil encontrar el área si tomamos sumas verticales. A veces la única forma posible es sumar verticalmente.
En este caso, encontramos que el área es la suma de los rectángulos, de altura `x = f(y)` y de anchura `dy`.
Si nos dan `y = f(x)`, entonces tenemos que reexpresarlo como `x = f(y)` y tenemos que sumar de abajo a arriba.
Entonces, en el caso 4 tenemos:
`A=int_c^df(y)dy`
Ejemplo del caso 4
Encuentra el área de la región delimitada por la curva `y=sqrt(x-1)`, el eje `y` y las rectas `y = 1` y `y = 5`.
Responde
Primero haz un croquis:
La curva x = y2 + 1, mostrando la porción «debajo» de la curva desde y = 1 hasta y = 5.
En este caso, expresamos x en función de y:
`y=cuadrado{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1`
Entonces el área viene dada por:
`A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3\ texto`
Nota: Para este ejemplo en particular, también podríamos haber sumado horizontalmente (integrando `y` y usando `dx`), pero necesitaríamos dividirlo primero en secciones.
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