Resultados del aprendizaje
- Calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar una media poblacional y una proporción poblacional dado un nivel de confianza y un margen de error deseados
Durante un año electoral, vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, una encuesta para un candidato concreto que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40% de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95% de confianza, por lo que, los encuestadores tendrían un 95% de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43: (0,40 – 0,03,0,40 + 0,03).
Los inversores en el mercado de valores están interesados en la verdadera proporción de acciones que suben y bajan cada semana. Las empresas que venden ordenadores personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que poseen ordenadores personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la verdadera proporción de acciones que suben o bajan cada semana y para la verdadera proporción de hogares en Estados Unidos que poseen ordenadores personales.
El procedimiento para encontrar el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media de la población, pero las fórmulas son diferentes.
¿Cómo sabe que está tratando con un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial. (No se menciona una media o un promedio.) Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de un éxito. Para formar una proporción, tome X, la variable aleatoria para el número de éxitos y divídala por n, el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′(léase «P primo») es esa proporción,
{displaystyle{P’}={frac{{X}}{{n}}
(A veces la variable aleatoria se denota como \displaystyle{hat{P}, léase «P sombrero».)
Cuando n es grande y p no está cerca de cero o de uno, podemos usar la distribución normal para aproximar la binomial.
Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación estándar por
n, obtenemos una distribución normal de proporciones con P′, llamada proporción estimada, como variable aleatoria. (Recordemos que una proporción como el número de aciertos dividido por n.)
Estilo de visualización: = P’}{sim}{N}(\frac{{n}{p}{n}},\frac{{n}{p}{q}}}}}{n})}
Utilizando el álgebra para simplificar:
displaystyle\frac{{n}{p}{}}}}}{n}}={sqrt{{p}}{n}}}}
P′ sigue una distribución normal para las proporciones:
Displaystyle{frac{{X}}={P’}{sim}{N}(\frac{{n}{p}}{n},\frac{sqrt{{n}{q}}}}}{n})}
El intervalo de confianza tiene la forma (p′ – EBP, p′ + EBP). EBP es el límite de error para la proporción.
\NDisplaystyle{p’}=\Nfrac{{x}{n}
p′ = la proporción estimada de éxitos (p′ es una estimación puntual para p, la proporción verdadera.)
x = el número de aciertos
n = el tamaño de la muestra
El límite de error para una proporción es EBP = \displaystyle({z}_{frac{{alpha}}{2}})(\sqrt{{p’q’}{n}) donde q’ = 1-p’.
Esta fórmula es similar a la fórmula del límite de error para una media, excepto que la «desviación estándar apropiada» es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación estándar de la población, la desviación estándar apropiada que utilizamos es \displaystyle\frac{{sigma}}{cuadrado{n}}. Para una proporción, la desviación estándar apropiada es \displaystyle\sqrt{{frac{{pq}{{n}}. Sin embargo, en la fórmula del límite de error, utilizamos \displaystyle\sqrt{\frac{p’q’}{n}} como desviación estándar, en lugar de \displaystyle\sqrt{\frac{pq}{n}}.
En la fórmula del límite de error, las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q. Las proporciones estimadasp′ y q′ se utilizan porque p y q no se conocen. Las proporciones muestrales p′ y q′ se calculan a partir de los datos: p′ es la proporción estimada de éxitos, y q′ es la proporción estimada de fracasos.
El intervalo de confianza sólo puede utilizarse si el número de éxitos np′ y el número de fracasos nq′ son ambos mayores que cinco.
Nota
Para la distribución normal de proporciones, la fórmula de puntuación z es la siguiente. Si \displaystyle{P’}{sim}{N}(p, \entonces la fórmula de la puntuación z es z = \displaystyle\frac{p’-p}}{{\año}}
Ejemplo
Supongamos que se contrata a una empresa de investigación de mercado para estimar el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad y que tienen teléfonos móviles. Se encuesta a quinientos adultos residentes en esta ciudad, seleccionados al azar, para determinar si tienen teléfonos móviles. De las 500 personas encuestadas, 421 responden que sí, que tienen teléfonos móviles. Utilizando un nivel de confianza del 95%, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos celulares.
- La primera solución es paso a paso (Solución A).
- La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84 (Solución B).
- La primera solución es paso a paso (Solución A).
- La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+, u 84 (Solución B).
- Estimamos con un 90% de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes que son votantes registrados está entre el 56,4% y el 63,6%.
- Formulación alternativa: Estimamos con un 90% de confianza que entre el 56,4% y el 63,6% de TODOS los estudiantes están registrados como votantes.
- Calcule un intervalo de confianza del 90% para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación, e interprete el intervalo de confianza.
- En una muestra de 300 estudiantes, el 68% dijo tener un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97% para el verdadero porcentaje de estudiantes que poseen un iPod y un teléfono inteligente.
- (0,7731, 0,8269); Estimamos con un 90% de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes del distrito que están en contra de la nueva legislación está entre el 77,31% y el 82,69%.
- La primera solución es paso a paso (Solución A). La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84 (Solución B)
- El 68% de los estudiantes posee un iPod y un teléfono inteligente. p′=0,68, q′=1′=1-0,68=0,32
- Dado que CL = 0,97, sabemos que α=1-0,97=0,03
- El área a la izquierda de z0.015 es 0,015, y el área a la derecha de z0,015 es 1 – 0,015 = 0,985.
- Usando la función InvNorm(.985,0,1) de la calculadora TI 83, 83+ u 84+, z0.015 = 2,17
- Estamos seguros en un 97% de que la verdadera proporción de todos los estudiantes que poseen un iPod y un teléfono inteligente está entre 0,6531 y 0,7069.
- Pulsa STAT y flecha hasta TESTS.
- Flecha abajo hasta A:1-PropZint.
- Pulse ENTER.
- Flecha abajo hasta x e introduzca 300*0,68.
- Flecha abajo hasta n e introduzca 300.
- Flecha abajo a Nivel C e introduzca 0,97.
- Flecha abajo a Calcular y pulse ENTER.
- El intervalo de confianza es (0,6531, 0,7069).
Solución A:
Diga X = el número de personas de la muestra que tienen teléfonos celulares. X es binomial.
X ~ B(500, \displaystyle\frac{{421}}{500})
Para calcular el intervalo de confianza, hay que encontrar p′, q′, yEBP.
n = 500
x = el número de aciertos = 421
p’= \displaystyle\frac{{x}}{{n}} =\frac{{421}{500}} = 0,842
p′ = 0.842 es la proporción de la muestra; es la estimación puntual de la proporción de la población.
q′ = 1 – p′ = 1 – 0,842 = 0,158
Dado que CL = 0,95, entonces α = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0,05 (α) = 0,025.
Entonces \displaystyle{z}_{frac{{alpha}}{2}}={z}_{0,025} = 1,96
Utiliza el comando invNorm(0,975,0,1) de la calculadora TI-83, 83+, o 84+ para encontrar z0,025. Recuerda que el área a la derecha de z0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z0,025 es 0,975. Esto también se puede encontrar utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, utilizando un ordenador, o utilizando una tabla de probabilidad Normal Estándar.
EBP = \displaystyle({z}_{frac{{alpha}}{2}})(\sqrt{{frac{p’q’}}) = (1.96)\displaystyle\sqrt{\frac{{(0.842)(0.158)}}{{500}}} = 0.032
p‘−EBP=0.842−0.032=0.81
p′+EBP=0.842+0.032=0.874
El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es ( p′ – EBP, p′ + EBP) = (0,810, 0,874).
Interpretación
Estimamos con un 95 % de confianza que entre el 81 % y el 87,4 % de todos los residentes adultos de esta ciudad tienen teléfonos móviles.
Explicación del nivel de confianza del 95 %
El 95 % de los intervalos de confianza construidos de esta manera contendrían el verdadero valor de la proporción poblacional de todos los residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles.
Solución B:
Pulse STAT y fleche hastaTESTS.
Flecha abajo hasta A:1-PropZint. Pulsa ENTER.Baja la flecha e introduce 421.Baja la flecha e introduce 500.Baja la flecha hasta C-Level e introduce .95.Baja la flecha hasta Calculate y pulsa ENTER.El intervalo de confianza es (0,81003, 0,87397).
Prueba
Supongamos que se encuesta a 250 personas seleccionadas al azar para determinar si tienen una tableta. De los 250 encuestados, 98 declaran poseer una tableta. Utilizando un nivel de confianza del 95%, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que poseen tabletas.
(0,3315, 0,4525)
Ejemplo
Para un proyecto de clase, un estudiante de ciencias políticas de una gran universidad quiere estimar el porcentaje de estudiantes que están registrados como votantes. Encuesta a 500 estudiantes y encuentra que 300 son votantes registrados. Calcule un intervalo de confianza del 90% para el verdadero porcentaje de estudiantes que están registrados como votantes, e interprete el intervalo de confianza.
Solución A:
x = 300 y n = 500
p’ =\displaystyle\frac{{x}}{{n}} = \frac{300}{500}} = 0,600
Como CL = 0,90, entonces α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0.10
Displaystyle{{alfa}} = 0,05 = Displaystyle{z}_{frac}{2}} = Z{0,05}} = 1,645
Utiliza el comando invNorm(0,95,0,1) de la calculadora TI-83, 83+ u 84+ para encontrar z0,05. Recuerda que el área a la derecha de z0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z0,05 es 0,95. Esto también se puede encontrar utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, utilizando un ordenador, o utilizando una tabla de probabilidad normal estándar.
EBP = \displaystyle({z}_{{frac{{alfa}}{2}})(\sqrt{{frac{p’q’}{n}}) = (1.645)\displaystyle\sqrt{{{0.6)(0.4)}{500}} = 0.036
El intervalo de confianza para la verdadera proporción binomial de la población es (p′ – EBP, p′ + EBP) = (0,564,0,636).
Interpretación
Explicación del nivel de confianza del 90%
El 90% de todos los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el valor verdadero para el porcentaje poblacional de estudiantes que están registrados como votantes.
Solución B:
Pulsa STAT y flecha haciaTESTS.
Flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint.
Pulsa ENTER.
Baja la flecha e introduce 300.
Baja la flecha e introduce 500.
Baja la flecha hasta C-Level e introduce 0,90.
Baja la flecha hasta Calculate y pulsa ENTER.
El intervalo de confianza es (0,564, 0,636).
Ejemplo
Un estudiante hace una encuesta en su escuela para ver si los alumnos del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación sobre los uniformes escolares. Encuesta a 600 estudiantes y encuentra que 480 están en contra de la nueva legislación.
Solución
Solución A
EBP = \displaystyle({z}_{{alfa}}{2}})(\sqrt{\frac{p’q’}{n}}) = (1,645)\displaystyle\sqrt{{{0,68)(0,32)}{300}} = 0.0269
Solución B
Intervalo de confianza «más cuatro» para p
Hay una cierta cantidad de error introducido en el proceso de calcular un intervalo de confianza para una proporción. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación estándar adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación estándar puede ser errónea.
Afortunadamente, existe un ajuste sencillo que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente fingimos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son éxitos y dos son fracasos. El nuevo tamaño de la muestra, entonces, es n + 4, y el nuevo recuento de éxitos es x + 2.
Los estudios informáticos han demostrado la eficacia de este método. Debe utilizarse cuando el nivel de confianza deseado es de al menos el 90% y el tamaño de la muestra es de al menos diez.
Ejemplo
Se preguntó a una muestra aleatoria de 25 estudiantes de estadística: «¿Ha fumado un cigarrillo en la última semana?». Seis estudiantes declararon haber fumado en la última semana. Utilice el método «más cuatro» para encontrar un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman.
Solución A:
Seis estudiantes de 25 informaron de que habían fumado en la última semana, por lo que x = 6 y n = 25. Como estamos utilizando el método «más cuatro», utilizaremos x = 6 + 2 = 8 y n = 25 + 4 = 29.
p’ = \displaystyle\frac{{x}{{n}} =\frac{{8}{29}} = 0.276
q’ = 1-p’ – 1-0,276 = 0,724
Como CL = 0,95, sabemos que \displaystyle{z}_{0.025}={1,96}
Estamos seguros al 95% de que la verdadera proporción de todos los estudiantes de estadística que fuman cigarrillos está entre 0,113 y 0,439.
Solución B:
Pulse STAT y fleche hasta TESTS.
Baje hasta A:1-PropZint. Pulse ENTER.
Recuerde que el método más cuatro supone cuatro ensayos adicionales: dos éxitos y dos fracasos. No necesita cambiar el proceso para calcular el intervalo de confianza; simplemente actualice los valores de x y n para reflejar estos ensayos adicionales.
Baje la flecha hasta x e introduzca ocho.
Baje la flecha hasta n e introduzca 29.
Baje la flecha hasta C-Level e introduzca 0.95.
Baje la flecha hasta Calcular y pulse ENTER.
El intervalo de confianza es (0,113, 0,439).
Ejemplo
De una muestra aleatoria de 65 estudiantes de primer año de la Universidad Estatal, 31 estudiantes han declarado una especialidad. Utilice el método «más cuatro» para encontrar un intervalo de confianza del 96% para la verdadera proporción de estudiantes de primer año en la Universidad Estatal que han declarado una especialidad.
Solución A:
Utilizando «más cuatro», tenemos x = 31 + 2 = 33 y n = 65 + 4 = 69.
Dado que CL = 0,96, sabemos que .
z0,02 = 2,054
Estamos seguros en un 96% de que entre el 35,4% y el 60,2% de todos los estudiantes de primer año de la U estatal han declarado una especialidad.
Solución B:
Pulse STAT y fleche hasta TESTS.
Baje la flecha hasta A:1-PropZint.
Pulse ENTER.
Baje la flecha hasta x e introduzca 33.
Baje la flecha hasta n e introduzca 69.
Baje la flecha hasta C-Level e introduzca 0,96.
Baje la flecha hasta Calculate y pulse ENTER.
El intervalo de confianza es (0,355, 0,602).
El Berkman Center for Internet & Society de Harvard realizó recientemente un estudio en el que se analizaron los hábitos de gestión de la privacidad de los usuarios adolescentes de Internet. En un grupo de 50 adolescentes, 13 declararon tener más de 500 amigos en Facebook. Utilice el método «más cuatro» para encontrar un intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de adolescentes que informarían de tener más de 500 amigos en Facebook.
Solución A:
Utilizando «más cuatro», tenemos x = 13 + 2 = 15 y n = 50 + 4 = 54.
Dado que CL = 0,90, sabemos que .
z0,05 = 1,645
Tenemos un 90% de confianza en que entre el 17,8% y el 37,8% de todos los adolescentes declararían tener más de 500 amigos en Facebook.
Solución B:
Pulsa STAT y flecha hasta TESTS.
Baje la flecha hasta A:1-PropZint.
Pulse ENTER.
Baje la flecha hasta x e introduzca 15.
Baje la flecha hasta n e introduzca 54.
Baje la flecha hasta Nivel C e introduzca 0,90.
Baje la flecha hasta Calcular y pulse ENTER.
El intervalo de confianza es (0,178, 0,378).
Ejemplo
El estudio del Centro Berkman al que se hace referencia en el ejemplo 6 habló con adolescentes en grupos de discusión más pequeños, pero también entrevistó a otros adolescentes por teléfono. Al finalizar el estudio, 588 adolescentes habían respondido a la pregunta sobre sus amigos de Facebook y 159 dijeron que tenían más de 500 amigos. Utiliza el método «más cuatro» para hallar un intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de adolescentes que declaran tener más de 500 amigos en Facebook basándote en esta muestra más amplia. Compare los resultados con los del Ejemplo 6.
Solución A:
Usando «más-cuatro», tenemos x = 159 + 2 = 161 y n = 588 + 4 = 592.
Dado que CL = 0,90, sabemos .
Tenemos un 90% de confianza en que entre el 24.2% y el 30,2% de todos los adolescentes reportarían tener más de 500 amigos en Facebook.
Solución B:
Pulse STAT y fleche hasta TESTS.
Baje hasta A:1-PropZint. Pulse ENTER.
Baje la flecha hasta xe introduzca 161.
Baje la flecha hasta ne introduzca 592.
Baje la flecha hasta C-Level e introduzca 0,90.
Baje la flecha hasta Calculate y pulse ENTER.
El intervalo de confianza es (0.242, 0.302).
Conclusión
El intervalo de confianza para la muestra más grande es más estrecho que el intervalo del Ejemplo 6. Las muestras más grandes siempre producirán intervalos de confianza más precisos que las muestras más pequeñas. El método «más cuatro» tiene un mayor impacto en la muestra más pequeña. Desplaza la estimación puntual de 0,26 (13/50) a 0,278 (15/54). Tiene un impacto menor en el EPB, cambiándolo de 0,102 a 0,100. En la muestra más grande, la estimación puntual sufre un cambio menor: de 0,270 (159/588) a 0,272 (161/592). Es fácil ver que el método más cuatro tiene el mayor impacto en las muestras más pequeñas.
Calcular el tamaño de la muestra n
Si los investigadores desean un margen de error específico, entonces pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño de la muestra requerido.
La fórmula del límite de error para una proporción de la población es EBP = \displaystyle({z}_{{alfa}{2}})(\sqrt{{{p’q’}{n}})
Resolviendo para n se obtiene una ecuación para el tamaño de la muestra.
\displaystyle{n}=\frac{{{\left({z}_{\frac{{\alpha}}{{2}}}\right)}^{2}({p’}{q’})}}{{{EBP}^{2}}}
Example
Suppose una empresa de telefonía móvil quiere determinar el porcentaje actual de clientes de más de 50 años que utilizan la mensajería de texto en sus teléfonos móviles. A cuántos clientes de más de 50 años debería encuestar la empresa para tener un 90% de confianza en que la proporción estimada (muestral) está dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción poblacional de clientes de más de 50 años que usan mensajes de texto en sus teléfonos móviles.
Solución:
Del problema sabemos que EBP = 0,03 (3%=0,03) y porque el nivel de confianza es del 90%.
Sin embargo, para encontrar n, necesitamos conocer la proporción estimada (muestral) p′. Recuerda que q′ = 1 – p′. Pero, aún no conocemos p′. Como multiplicamos p′ y q′ juntos, hacemos que ambos sean iguales a 0,5 porque p′q′ = (0,5)(0,5) = 0,25 da como resultado el mayor producto posible. (Prueba con otros productos: (0,6)(0,4) = 0,24; (0,3)(0,7) = 0,21; (0,2)(0,8) = 0,16 y así sucesivamente). El mayor producto posible nos da el mayor n. Esto nos da una muestra lo suficientemente grande como para que podamos estar seguros al 90% de que estamos dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población. Para calcular el tamaño de la muestra n, utilice la fórmula y realice las sustituciones.
Redondee la respuesta al siguiente valor más alto. El tamaño de la muestra debe ser de 752 clientes de teléfonos móviles de más de 50 años para tener un 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de todos los clientes de más de 50 años que utilizan la mensajería de texto en sus teléfonos móviles.
Prueba
Supongamos que una empresa de marketing en Internet quiere determinar el porcentaje actual de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes. ¿A cuántos clientes debería encuestar la empresa para tener un 90% de confianza en que la proporción estimada se encuentra dentro de los cinco puntos porcentuales de la verdadera proporción de clientes que hacen clic en los anuncios de sus smartphones?
Se debería encuestar a 271 clientes.Compruebe la sección de Inmobiliaria en su local
Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. «Adolescentes, medios sociales y privacidad». PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
Prince Survey Research Associates International. «Encuesta de 2013 sobre la gestión de los adolescentes y la privacidad». Pew Research Center: Proyecto Internet y Vida Americana. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Saad, Lydia. «Tres de cada cuatro trabajadores estadounidenses planean trabajar más allá de la edad de jubilación: Un poco más dicen que lo harán por elección y no por necesidad». Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Zogby. «Nueva encuesta de SUNYIT/Zogby Analytics: Pocos estadounidenses se preocupan por las situaciones de emergencia que ocurren en su comunidad; sólo uno de cada tres tiene un plan de emergencia; el 70% apoya la «inversión» en infraestructura para la seguridad nacional.» Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013).
«El 52% dice que los grandes atletas universitarios corrompen el proceso educativo». Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013).
Revisión del concepto
Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de encuestas, miden datos cualitativos en lugar de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.
Déjese que p′ represente la proporción de la muestra, x/n, donde x representa el número de aciertos y n representa el tamaño de la muestra. Sea q′ = 1 – p′. Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:
(límite inferior, límite superior)
El método «más cuatro» para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido al utilizar las estimaciones de la proporción poblacional cuando se calcula la desviación estándar de la distribución muestral. Simplemente imagine que hay cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son éxitos y dos son fracasos. Calcule , y proceda a encontrar el intervalo de confianza. Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes.
Revisión de la fórmula
p′ = x / n donde x representa el número de éxitos y n representa el tamaño de la muestra. La variable p′ es la proporción muestral y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción poblacional.
q′ = 1 – p′
La variable p′ tiene una distribución binomial que puede aproximarse con la distribución normal que se muestra aquí.
EBP = \displaystyle({z}_{frac{{alpha}}{2}})(\sqrt{{{p’q’}{n}})
Intervalo de confianza para una proporción:
(límite inferior, límite superior)= (p’ – EBP, p’ + EBP) = (p’ – \displaystyle({z}_{frac{{alpha}{2}})(\sqrt{{frac{p’q’}{n}}), p’+ \displaystyle({z}_{\frac{{\alpha}}{{2}}})(\sqrt{\frac{{p’q’}}{{n}}}))
n =\displaystyle\frac{{({z}_{\frac{{\alpha}}{{2}}}{p’q’}}}{{{EBP}^{2}}}provides el número de participantes necesarios para estimar la proporción poblacional con confianza 1 – α y margen de error EBP.
Utilizar la distribución normal para una proporción poblacional única p′ = \displaystyle\frac{{x}}{n}
EBP = \displaystyle({z}_\frac{{alpha}}{2}}(\sqrt{\frac{{p’q’}}{{n}})(p’+q’) = 1
El intervalo de confianza tiene el formato (p′ – EBP, p′ + EBP).
Es una estimación puntual para μ
p′ es una estimación puntual para ρ
s es una estimación puntual para σ