Guinguette Marais Poitevin

Ejemplo

Intenta medir el diámetro de una pelota de tenis con la vara de medir. Cuál es la incertidumbre en esta medición?

Aunque la vara de medir se puede leer con una precisión de 0,1 cm, probablemente no puedas determinar el diámetro con una precisión de 0,1 cm.

• ¿Qué factores limitan tu capacidad para determinar el diámetro de la pelota?
• ¿Cuál es una estimación más realista de la incertidumbre en tu medición del diámetro de la pelota?

Respuestas: Es difícil alinear el borde de la bola con las marcas de la regla y la imagen es borrosa. Aunque hay marcas en la regla para cada 0,1 cm, sólo se ven claramente las marcas de cada 0,5 cm. Creo que puedo medir de forma fiable dónde está el borde de la pelota de tenis hasta la mitad de una de estas marcas, es decir, unos 0,2 cm. El borde izquierdo está a unos 50,2 cm y el derecho a unos 56,5 cm, por lo que el diámetro de la pelota es de unos 6,3 cm ± 0,2 cm.

Otro ejemplo



Intenta determinar el grosor de una caja de CD a partir de esta imagen.

• ¿Cómo puedes obtener la medida más precisa del grosor de una sola caja de CD a partir de esta imagen? (Aunque la regla está borrosa, puedes determinar el grosor de una sola caja con una precisión de menos de 0,1 cm.)
• Usa el método que acabas de describir para determinar el grosor de una sola caja (y la incertidumbre en esa medición)
• ¿Qué suposición(es) implícita(s) estás haciendo sobre las cajas de CD?

Respuestas: La mejor manera de hacer la medición es medir el grosor de la pila y dividirlo por el número de cajas de la pila. De este modo, la incertidumbre de la medición se reparte entre las 36 cajas de CD. Es difícil leer la regla en la imagen más cerca que dentro de unos 0,2 cm (véase el ejemplo anterior). La pila comienza en la marca de 16,5 cm y termina en la marca de 54,5 cm, por lo que la pila mide aproximadamente 38,0 cm ± 0,2 cm. Divida la longitud de la pila por el número de cajas de CD en la pila (36) para obtener el grosor de una sola caja: 1,056 cm ± 0,006 cm. Al «repartir» la incertidumbre entre toda la pila de cajas, se puede obtener una medida más precisa que la que se puede determinar midiendo sólo una de las cajas con la misma regla. Estamos suponiendo que todas las cajas tienen el mismo grosor y que no hay espacio entre ninguna de las cajas.

Estimar la incertidumbre a partir de múltiples mediciones

Una forma de aumentar la confianza en los datos experimentales es repetir la misma medición muchas veces. Por ejemplo, una forma de estimar la cantidad de tiempo que tarda algo en suceder es simplemente cronometrarlo una vez con un cronómetro. Puedes disminuir la incertidumbre de esta estimación realizando esta misma medición varias veces y sacando la media. Cuantas más mediciones realice (¡siempre que no haya problemas con el reloj!), mejor será su estimación.

Tomar múltiples mediciones también le permite estimar mejor la incertidumbre en sus mediciones comprobando cómo de reproducibles son las mediciones. La precisión de su estimación del tiempo depende de la dispersión de las mediciones (a menudo se mide utilizando una estadística llamada desviación estándar) y del número (N) de mediciones repetidas que realice.

Considere el siguiente ejemplo: María cronometró el tiempo que tarda una bola de acero en caer desde lo alto de una mesa hasta el suelo utilizando el mismo cronómetro. Obtuvo los siguientes datos:

0,32 s, 0,54 s, 0,44 s, 0,29 s, 0,48 s

Al realizar cinco mediciones, María ha disminuido significativamente la incertidumbre en la medición del tiempo. María también tiene una estimación aproximada de la incertidumbre en sus datos; es muy probable que el «verdadero» tiempo que tarda la pelota en caer esté en algún lugar entre 0,29 s y 0,54 s. Se requiere estadística para obtener una estimación más sofisticada de la incertidumbre.

Algunos conceptos estadísticos

Cuando se trata de mediciones repetidas, hay tres cantidades estadísticas importantes: media (o promedio), desviación estándar y error estándar. Estas se resumen en la siguiente tabla:

Estadística	Qué es	Interpretación estadística	Símbolo	Promedio	Estimación del valor «verdadero» de la medida	El valor central	xave
desviación estándar	una medida de la «dispersión» de los datos	Puede estar razonablemente seguro (alrededor de un 70% de seguridad) de que si repite la misma medición una vez más, esa próxima medición estará a menos de una desviación estándar de la media.	s
error estándar	una estimación en la incertidumbre en la media de las mediciones	Puedes estar razonablemente seguro (alrededor de un 70% de seguridad) de que si vuelves a hacer todo el experimento con el mismo número de repeticiones, el valor medio del nuevo experimento estará a menos de un error estándar del valor medio de este experimento.	SE

Los datos de María revisados

A continuación se presentan las estadísticas de los datos del cronómetro de María:

• xave = 0,41 s
• s = 0,11 s
• SE = 0,05 s

Está bastante claro lo que significa la media, pero ¿qué dicen las otras estadísticas sobre los datos de María?

• Desviación estándar: Si María cronometra la caída del objeto una vez más, hay una buena probabilidad (alrededor del 70%) de que la lectura del cronómetro que obtenga esté dentro de una desviación estándar de la media. En otras palabras, la próxima vez que mida el tiempo de la caída hay un 70% de posibilidades de que la lectura del cronómetro que obtenga esté entre (0,41 s – 0,11 s) y (0,41 s + 0,11 s).
• Error estándar: Si María volviera a hacer todo el experimento (las cinco mediciones), hay una buena probabilidad (alrededor del 70%) de que la media de esas cinco nuevas mediciones esté dentro de un error estándar de la media. En otras palabras, la próxima vez que María repita las cinco mediciones, la media que obtendrá estará entre (0,41 s – 0,05 s) y (0,41 s + 0,05 s).

Calcular las estadísticas usando Excel

Los programas de hojas de cálculo (como Microsoft Excel) pueden calcular las estadísticas fácilmente. Una vez que tengas los datos en Excel, puedes utilizar el paquete estadístico incorporado para calcular la media y la desviación estándar.

Para calcular la media de las celdas A4 a A8: Selecciona la celda en la que quieres que aparezca la media (D1 en este ejemplo) Escribe «=media(a4:a8)» Pulsa la tecla Enter
Para calcular la desviación estándar de los cinco números, utiliza la función STDEV incorporada de Excel.
Excel no tiene una función de error estándar, por lo que tienes que utilizar la fórmula para el error estándar: Donde N es el número de observaciones

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Incertidumbre en los cálculos

¿Qué pasa si se quiere determinar la incertidumbre de una cantidad que se ha calculado a partir de una o varias mediciones? Hay métodos complicados y menos complicados para hacerlo. Para este curso, utilizaremos el más sencillo. El método de límites superiores-inferiores de la incertidumbre en los cálculos no es tan formalmente correcto, pero servirá. La idea básica de este método es utilizar los rangos de incertidumbre de cada variable para calcular los valores máximos y mínimos de la función. También se puede pensar en este procedimiento como si se tratara de exminar los mejores y peores escenarios. Por ejemplo, si se quiere encontrar el área de un cuadrado y se mide un lado como una longitud de 1,2 +/- 0,2 m y la otra longitud como 1,3 +/- 0,3 metros, entonces el área sería: