Hemos visto el significado de la derivada, y de sus diversas notaciones, incluyendo dy/dx. Esto nos lleva a la siguiente pregunta: ¿Qué significan dx o dy por sí solas? Esto ya se tocó la última vez, pero hay mucho más que decir que no pude incluir allí. Veremos enfoques más avanzados sobre las diferenciales en sí mismas, y luego dos perspectivas sobre lo que significan en las integrales.
Diferenciales como funciones
Empezaremos con la página a la que dos de nosotros nos referimos en nuestras respuestas la última vez, que viene de 1998:
DifferentialsI have to reach this conclusion:If you can get the differentials of a function, you can differentiate it, but if you can differentiate it, you can not necessarily get its differentials.Please help.
Como ya hemos visto, las diferenciales pueden ser discutidas desde varias perspectivas diferentes. Esta pregunta, al carecer de un contexto claro, no indica qué tipo de función se tiene en mente, ni qué enfoque de los diferenciales se está adoptando. ¿Qué significa aquí «obtener los diferenciales de una función»? El doctor Jerry respondió sugiriendo un posible contexto, dando una definición que es bastante diferente de lo que hemos visto hasta ahora, donde los diferenciales eran sólo números infinitesimales:
Hi Maria,The standard definition of the differential of a real-valued function f of a real variable is: At a given point x, the differential df_x (df sub x; usually the x is omitted) of f is the linear function defined on R by: df_x(h) = f'(x) * hEveryday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function. For example, if y = f(x) = x^2, then we write: dy = df = 2x * dxwhere dx is used instead of h. This is for good reason. The finite numbers dy and dx appearing in dy = 2x * dx can be manipulated to obtain: dy/dx = 2xI feel that I haven't replied directly to your question. I think that this is because I don't fully understand your question. Please write again if my answer has not helped.
Esta definición toma la diferencial de una función para ser ella misma una función, es decir, la función cuyo valor es el cambio vertical \(\Delta y\) a lo largo de la línea tangente para un cambio horizontal dado (h o \(\Delta x\) o dx). De esta manera, no tenemos que pensar en dy como un número-que-no-es-realmente-un-número (un infinitesimal), sin embargo, obtenemos la acción de multiplicar la derivada por cualquier número dx.
En su ejemplo, la diferencial de \(f(x) = x^2\) en x = 3 es \(df(h) = df_3(h) = f'(3)\cdot h = 6h\). Desde esta perspectiva, la forma habitual de escribir la diferencial como si fuera un número es sólo un atajo. Manteniendo la variable x, podríamos decir, completamente, \(df_x(dx) = 2x dx\), o brevemente, sólo \(dy = 2x dx\). Para una versión muy ligeramente diferente de esta definición, véase aquí.
María pidió más, dando un poco más de contexto pero sin dejar todavía muy claro a qué nivel se encuentra:
Thanks for your answer. I know that the question is a little bit confusing, and at the beginning I thought it was a problem of the translation from English of the Math books. Your answer helped a little, so I am going to try to rephrase it.What is the difference between finding the derivatives of a function (dy/dx), and finding its differentials (dy, dx)?In the books I've seen they define differentials supposing that f(x) is differentiable.My teacher gave a hint to reach this conclusion: if you can find the differentials of f, then f is differentiable, but if f is differentiable you can't necessarily find its differentials.That is why I can prove this, starting with a function that is differentiable.
Aún no está claro qué significa «las derivadas de una función»; quizás no pretende un plural.
El Doctor Jerry comenzó su respuesta reafirmando la definición anterior:
Hi Maria,Suppose f(x) = x^2. To find the derivative of f we use the definition of derivative: f'(x) is the limit as h->0 of the quotient f(x+h) - f(x) ------------- hFor this function, f'(x) = 2x.Okay, this much is clear; there is no possible ambiguity.The differential of f at x is defined to be the linear function df, which is defined on all of R by: df(h) = f'(x) * hOften, the notation df(h) is shortened to df or, if y = f(x), then we write dy instead of df. Then the above definition is: dy = f'(x)*dx or dy/dx = f'(x)Unless you are studying differential geometry, in which dx is interpreted slightly differently, dx is not the differential of a function. It is a variable, the same as h.
Voy a omitir el resto de la respuesta, porque creo que la pregunta y su contexto nunca fueron aclarados, por lo que no está claro qué respuesta se necesita.
Si quieres profundizar…
El doctor Jerry mencionó la geometría diferencial de pasada, como un lugar donde se definen las diferenciales más profundamente. Sólo hemos entrado ocasionalmente en ese territorio; quiero citar sólo la conclusión de una respuesta no archivada a una pregunta sobre diferenciales, del doctor Fenton en 2009, por si os interesa:
There is also a more sophisticated viewpoint in which what is integrated is not a function f(x), but rather what is called a "differential form". This viewpoint involves a lot of complicated mathematical structure and is more commonly seen in calculus of functions of several variables (see, for example, http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form )but it can also be used in one-dimensional calculus as well (e.g. in David Bressoud's book _Second Year Calculus_).So, the easiest viewpoint is the purely formal one, in which you do useful but basically meaningless computations (du=g'(x)dx which does the bookkeeping), but there is also a more complicated viewpoint in which the computations are not meaningless, but they require you to learn more abstract mathematics. For example, the one-dimensional differential form dx becomes a mapping from intervals on the real line to R, and dx() = b-a ,while the differential form 3x^2dx (to use one of Bressoud's examples) is the mapping which takes the interval to b / b^3 a^3 | 3x^2 dx = --- - --- . / 3 3 aThis becomes the viewpoint used in modern differential geometry.
Diferenciales en notación integral definida
La semana pasada hablamos del uso de diferenciales dentro de símbolos para la derivada. Veamos un par de cuestiones sobre su uso en la integración. En primer lugar, tenemos esto, de 2002:
The Meaning of 'dx' in an IntegralNo matter how many times it's explained to me, and even though I've taken several advanced math courses (diff eq, linear algebra, etc), nobody has ever given me a satisfactory explanation for the meaning of the notation in which an integral has dx appended to the end if x is the variable which we are integrating with respect to. In physics, for example, dx seems to mean a very small amount of x, and then we use it in an integral to integrate whatever physical quantity is being discussed. I just don't understand. Or, when a differential is defined, all of a sudden the dx has a meaning, but then when an integral is being evaluated, the teacher says, "Oh, the dx is just a formality." So, sometimes it's a formality, sometimes a vital concept, sometimes a physical quantity, sometimes a derivative: What is it?
Cuando escribimos \(\int f(x) dx\), lo leemos como «la integral de f(x) con respecto a x», sin asignar ningún significado a «dx» más allá de decirnos qué variable nos importa. (De hecho, a veces la dx puede omitirse por completo, cuando la variable está clara). Esto no es muy diferente de su uso en una derivada, donde también significa «con respecto a x». ¿Qué significa aquí?
El doctor Jeremías tomó la pregunta, centrándose en la idea de una integral definida:
Hi Nosson,Think about it this way:An integral gives you the area between the horizontal axis and the curve. Most of the time this is the x axis. y | | --|-- ----|---- f(x) / | \ / | / | -------- | | / | | -----|------- | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is: b / Area = | f(x) dx / a
Esta es una definición de la integral definida, en un sentido amplio; lo que sigue define cómo se puede calcular en principio (y, por tanto, cómo se define formalmente):
But say you didn't want to use an integral to measure the area between the x axis and the curve. Instead you just calculate the average value of the graph between a and b and draw a straight flat line y = avg(x) (the average value of x in that range).Now you have a graph like this: y | | - | - - - | - - f(x) | / | \ / | -----|-----------------------------------|---- avg(x) | / | | - - -|- - - - | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is a rectangle: Area = avg(x) w where w is the width of the sectionThe height is avg(x) and the width is w = b-a or in English, "the width of a slice of the x axis going from a to b."
Su anchura w suele llamarse \(\Delta x\); lo veremos más adelante.
But say you need a more accurate area. You could break the graph up into smaller sections and make rectangles out of them. Say you make 4 equal sections: y | | |----|---| |-------|---- f(x) | | | | | | | |--------| | | | | | | | -----|---------| | | | | | | | | | | | | | | | | ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x a bAnd the area is: Area = section 1 + section 2 + section 3 + section 4 = avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) wwhere w is the width of each section. The sections are all the same size, so in this case w=(b-a)/4 or in English, "the width of a thin slice of the x axis or 1/4 of the width from a to b."
Empezamos a desarrollar la integral de Reimann (aunque se necesitan muchos detalles para hacer una definición completa, ya que, por ejemplo, las anchuras no tienen que ser realmente iguales).
And if we write this with a summation we get: 4 +--- \ Area = / avg(x,n) w +--- n=1But it's still not accurate enough. Let's use an infinite number of sections. Now our area becomes a summation of an infinite number of sections. Since it's an infinite sum, we will use the integral sign instead of the summation sign: / Area = | avg(x) w /where avg(x) for an infinitely thin section will be equal to f(x) in that section, and w will be "the width of an infinitely thin section of the x axis."So instead of avg(x) we can write f(x), because they are the same if the average is taken over an infinitely small width.
De nuevo, se están omitiendo muchos detalles para mantener las cosas intuitivas.
And we can rename the w variable to anything we want. The width of a section is the difference between the right side and the left side. The difference between two points is often called the delta of those values. So the difference of two x values (like a and b) would be called delta-x. But that is too long to use in an equation, so when we have an infinitely small delta, it is shortened to dx.If we replace avg(x) and w with these equivalent things: / Area = | f(x) dx /
Así que, como en la aproximación infinitesimal a la derivada, se piensa en dx (informalmente) como un cambio muy pequeño en x.
So what the equation says is:Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are f(x) high and dx wide (where dx is an infinitely small distance).So you need the dx because otherwise you aren't summing up rectangles and your answer wouldn't be total area.dx literally means "an infinitely small width of x".
Esto, por supuesto, se aplica específicamente a la integral definida. Desde esta perspectiva, podemos pensar que la integral indefinida hereda la misma notación a través del Teorema Fundamental del Cálculo, que une a las dos.
¡La diferencial no tiene por qué estar al final!
Una consecuencia de enseñar a los estudiantes que la diferencial en una integral significa sólo «… con respecto a x» puede verse en la siguiente pregunta, de 2003, sobre una variación relativamente inusual en la notación:
Integral Notation - Missing IntegrandsI have seen some integral notation used that I am not familiar with. It looks like this: / | dx f(x) + .../There does not seem to be an integrand (i.e. a function being integrated). I'm not sure if f(x) is to be integrated. I have two theories, but I can't see the point in writing the expression as it is if either of my theories is correct.My theories about what this might mean:1) The above notation is the same as writing: / | 1 dx f(x) + ... (note the explicit 1 here)/=(x + C) * f(x) + ... (where C is a constant of integration)2) The rest of the expression is to be integrated with respect to x.If (1) is correct, then what was the point of writing the integral - why wasn't (x + C) just written instead? If (2) is correct, then how does one know when to "stop integrating" (i.e. if there is some term to be added on to the expression that is not to be integrated, how is it distinguished?).I have seen this recently in multi-variate calculus, i.e. when x is in R^n rather than R: does this situation justify the use of the integral notation somehow?
La primera conjetura de Chris es que la dx cierra la integral, de modo que lo que sigue debe multiplicarse; la segunda (que es correcta) es que no importa dónde se coloque la dx.
Tiene razón en que esta notación es particularmente común en el cálculo con más de una variable. Se puede escribir, por ejemplo, $\int_0^b dy\int_0^a dx f(x,y)$ o $\int_0^b dy\int_0^a f(x,y) dx$ en lugar de $int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy$ para indicar que primero debemos integrar con respecto a x, y luego integrar el resultado con respecto a y. Una de las ventajas es que facilita ver qué límites van con cada variable.
Yo contesté:
Hi, Chris.It is common to learn about integration in such a way that the "dx" seems to be a marker for the end of the integral, as if the "long S" were a left parenthesis and the "dx" were the right parenthesis. But it doesn't work that way. In fact, what you are integrating is the product of a function and dx; and multiplication is commutative! So these mean the same thing: / / | f(x) dx and | dx f(x) / /If you then add something, you must use parentheses if it is to be part of the integral: / / | dx f(x) + g(x) = + g(x) / /is the sum of an integral and a function, while / / | dx (f(x) + g(x)) = | (f(x) + g(x)) dx / /is the integral of the sum of two functions.That is, presumably the integral has higher precedence than addition, so you "stop integrating" at the first plus sign. But even then, I'm not positive that this rule I just made up is always followed; let me know if you think it doesn't fit the practice in your text, and show me an example.
Ver la diferencial como parte de un producto es necesario para entender la notación. Esto se puede hacer tanto si se piensa en dx como una mera notación, de modo que el «producto» es tan ilusorio como el «cociente» en una derivada, como si se piensa explícitamente en la suma de Riemann.
No veo que mis ideas sobre los paréntesis se sigan universalmente; no es raro ver \N(int x^2-2x+3 dx\) en lugar de \N(int (x^2-2x+3) dx\). Esto se debe probablemente al uso común de la diferencial para terminar el integrando, y al hecho de que no tendría sentido tomar la dx como asociada sólo al último término, a pesar del orden habitual de las operaciones. Esta laxitud puede trasladarse a las integrales en las que dx se escribe primero, aunque la ambigüedad es mucho mayor allí. Muy a menudo, como en algunos otros aspectos del orden de las operaciones, al final sólo hay que reconocer qué interpretación tiene sentido en el contexto.
Al escribir esto, se me ha ocurrido que mi referencia a la conmutatividad no es del todo válida, específicamente cuando se trata de integrales definidas. No es lo mismo: $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy\neint_0^b\int_0^a f(x,y)dy dx$
Eso es porque el orden de las diferenciales determina el sentido de los límites de integración. Todo lo relacionado con la notación de cálculo es un poco resbaladizo.
Chris respondió,
Doctor Peterson,Thank you for your quick and helpful reply.I was indeed taught that integration begins with the "long S" and ends with the (for example) dx.I have, however, seen the following notation: / | dx | ------------ | f(x) + g(x)/and assumed it was a convenient notation rather than being a justifiable mathematical expression.Perhaps I need to go and look at calculus from first principles again to see why this is the case.
¡Esa es una notación conveniente y justificable! De nuevo, estamos pensando que la dx se multiplica por una fracción, y por tanto equivale a parte del numerador.
Un ejemplo especialmente bueno de la utilidad de la diferencial en una integral indefinida surge en el método de sustitución, donde podemos sustituir la dx por una expresión que realmente multiplicamos:
Why Does Integration by Substitution Work?
He mirado esa página en el post Integración por sustitución.