Es posible rastrear el origen de la palabra «ratio» hasta el griego antiguo λόγος (logos). Los primeros traductores la tradujeron al latín como ratio («razón»; como en la palabra «racional»). Una interpretación más moderna del significado de Euclides se asemeja más a un cálculo o una cuenta. Los escritores medievales utilizaban la palabra proportio («proporción») para indicar la razón y proportionalitas («proporcionalidad») para la igualdad de las razones.
Euclides recogió los resultados que aparecen en los Elementos de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron una teoría de la razón y la proporción aplicada a los números. La concepción del número de los pitagóricos incluía sólo lo que hoy se llamaría números racionales, lo que ponía en duda la validez de la teoría en geometría, donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen razones inconmensurables (correspondientes a números irracionales). El descubrimiento de una teoría de las proporciones que no suponga conmensurabilidad se debe probablemente a Eudoxo de Cnidus. La exposición de la teoría de las proporciones que aparece en el Libro VII de Los Elementos refleja la anterior teoría de los cocientes de conmensurables.
La existencia de múltiples teorías parece innecesariamente compleja ya que los cocientes se identifican, en gran medida, con los cocientes y sus valores prospectivos. Sin embargo, se trata de un desarrollo comparativamente reciente, como puede verse en el hecho de que los libros de texto de geometría modernos siguen utilizando una terminología y una notación distintas para las razones y los cocientes. Las razones para ello son dos: en primer lugar, estaba la reticencia antes mencionada a aceptar los números irracionales como verdaderos números, y en segundo lugar, la falta de un simbolismo ampliamente utilizado para sustituir la terminología ya establecida de los cocientes retrasó la plena aceptación de las fracciones como alternativa hasta el siglo XVI.
Definiciones de EuclidesEditar
El libro V de los Elementos de Euclides tiene 18 definiciones, todas ellas relacionadas con los cocientes. Además, Euclides utiliza ideas que eran de uso tan común que no incluyó definiciones para ellas. Las dos primeras definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que la «mide» y, a la inversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que mide. En la terminología moderna, esto significa que un múltiplo de una cantidad es esa cantidad multiplicada por un número entero mayor que uno, y una parte de una cantidad (que significa parte alícuota) es una parte que, cuando se multiplica por un número entero mayor que uno, da la cantidad.
Euclides no define el término «medida» tal como se utiliza aquí, Sin embargo, se puede inferir que si una cantidad se toma como una unidad de medida, y una segunda cantidad se da como un número integral de estas unidades, entonces la primera cantidad mide la segunda. Estas definiciones se repiten, casi palabra por palabra, como definiciones 3 y 5 en el libro VII.
La definición 3 describe lo que es una proporción de manera general. No es rigurosa en un sentido matemático y algunos la han atribuido a los editores de Euclides y no al propio Euclides. Euclides define una razón entre dos cantidades del mismo tipo, por lo que con esta definición se definen las razones de dos longitudes o de dos áreas, pero no la razón de una longitud y un área. La definición 4 es más rigurosa. Establece que existe una razón de dos cantidades, cuando hay un múltiplo de cada una que excede a la otra. En notación moderna, existe una razón entre las cantidades p y q, si existen enteros m y n tales que mp>q y nq>p. Esta condición se conoce como la propiedad de Arquímedes.
La definición 5 es la más compleja y difícil. Define lo que significa que dos cocientes sean iguales. Hoy en día, esto se puede hacer simplemente afirmando que los cocientes son iguales cuando los cocientes de los términos son iguales, pero tal definición no habría tenido sentido para Euclides. En notación moderna, la definición de igualdad de Euclides es que dadas las cantidades p, q, r y s, p∶q∷r ∶s si y sólo si, para cualesquiera enteros positivos m y n np<mq, np=mq, o np>mq según nr<ms, nr=ms, o nr>ms, respectivamente. Esta definición tiene afinidades con los cortes de Dedekind ya que, siendo n y q ambos positivos, np equivale a mq como p/q al número racional m/n (dividiendo ambos términos por nq).
La definición 6 dice que las cantidades que tienen la misma razón son proporcionales o están en proporción. Euclides utiliza el griego ἀναλόγον (analogon), éste tiene la misma raíz que λόγος y está relacionado con la palabra inglesa «analog».
La definición 7 define lo que significa que una proporción sea menor o mayor que otra y se basa en las ideas presentes en la definición 5. En notación moderna dice que dadas las cantidades p, q, r y s, p∶q>r∶s si hay enteros positivos m y n de modo que np>mq y nr≤ms.
Al igual que la definición 3, la definición 8 es considerada por algunos como una inserción posterior de los editores de Euclides. Define que tres términos p, q y r están en proporción cuando p∶q∷q∶r. Esto se amplía a 4 términos p, q, r y s como p∶q∷q∶r∷r∶s, y así sucesivamente. Las secuencias que tienen la propiedad de que los cocientes de los términos consecutivos son iguales se llaman progresiones geométricas. Las definiciones 9 y 10 aplican esto, diciendo que si p, q y r están en proporción entonces p∶r es la razón duplicada de p∶q y si p, q, r y s están en proporción entonces p∶s es la razón triplicada de p∶q.