Consideremos la condición de tensión bidimensional donde las tensiones son σx, σy, y τxy.Tenemos, para otro conjunto de ejes ortogonales x’-y’ en ángulo θ con x-y, las tensiones son
σ x ′ = σ x + σ y 2 + σ x – σ y 2 cos 2 θ + τ sin 2 θ {\displaystyle \sigma _{x’}={frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}2}+{\frac {\sigma _{x}-\{{sigma _{y}}{2}}cos 2\theta +\tau {{sin 2\theta}}
τ x ′ y ′ = – σ x – σ y 2 sin 2 θ + τ x y cos 2 θ {\displaystyle \tau _{x’y’}=-{\frac {{sigma _{x}}-{sigma _{y}}{2}{sin 2\theta +\tau _{xy}{cos 2\theta }
A partir de las ecuaciones anteriores, podemos ver que para cualquier estado de tensión dado por σx, σy y τxy, podemos encontrar un valor de θ tal que el valor de σx’ sea máximo.Este valor se llama tensión principal σ1 (para el máximo) o σ2 (para el mínimo).
Las tensiones principales vienen dadas por
σ 1 , 2 = σ x + σ y 2 ± ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \sigma _{1,2}={frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}{2}}pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}}-\sigma _{y}}{2}right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
y el esfuerzo cortante máximo viene dado por
τmax = (σ1 – σ2)/2
A partir de las definiciones de σx’ y τx’y’, tenemos
( σ x ′ – σ x + σ y 2 ) 2 + τ x ′ y ′ 2 = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \left(\sigma _{x’}-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}{2}+\tau _{x’y’}^{2}=left({\frac {{sigma _{x}}-\sigma _{y}}{2}{2}{2}+\tau _{xy}^{2}
En el gráfico σ-τ, se trata de un círculo con centro en el eje x, y la distancia del centro desde el origen viene dada por (σx + σy)/2 y un radio dado por
R = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle R={sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
Este círculo se conoce como círculo de Mohr, y es útil para visualizar el estado de tensión en un punto.
La figura anterior muestra el círculo de Mohr para un estado de tensión (σ, τ).El centro y el radio del círculo se obtienen a partir de las ecuaciones indicadas anteriormente.La otra tensión σy se puede leer por el punto diametralmente opuesto al punto (σ, τ).La tensión en cualquier plano se puede encontrar utilizando construcciones geométricas simples.
Círculo de Mohr para casos comunesEditar
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