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Ecuación lineal en dos variables
Una ecuación lineal en dos variables, x e y, se puede escribir de la forma
ax + by = c
donde x e y son números reales y a y b no son ambos cero.
Por ejemplo, 3x + 2y = 8 es una ecuación lineal en dos variables.
Una solución de dicha ecuación es un par ordenado de números (x, y) que hace que la ecuación sea verdadera cuando los valores de x e y se sustituyen en la ecuación.
Por ejemplo, tanto (2, 1) como (0, 4) son soluciones de la ecuación, pero (2, 0) no es una solución. Una ecuación lineal en dos variables tiene infinitas soluciones.
El siguiente vídeo muestra cómo completar pares ordenados para dar solución a ecuaciones lineales.
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Ecuaciones simultáneas
Si se da otra ecuación lineal en las mismas variables, suele ser posible encontrar una solución única de ambas ecuaciones. Dos ecuaciones con las mismas variables se llaman sistema de ecuaciones, y las ecuaciones del sistema se llaman ecuaciones simultáneas. Resolver un sistema de dos ecuaciones significa encontrar un par ordenado de números que satisfaga las dos ecuaciones del sistema.
Hay dos métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, por sustitución o por eliminación.
Método de sustitución
En el método de sustitución, se manipula una ecuación para expresar una variable en términos de la otra. Luego se sustituye la expresión en la otra ecuación.
Por ejemplo, para resolver el sistema de ecuaciones
3x + 2y = 2
y + 8 = 3x
Se aísla la variable y en la ecuación y + 8 = 3x para obtener y = 3x – 8.
Después, se sustituye 3x – 8 por y en la ecuación 3x + 2y = 2.
3x + 2 (3x – 8) = 2
3x + 6x – 16 = 2
9x – 16 = 2
9x = 18
Sustituye x = 2 en y = 3x – 8.para obtener el valor de y
y = 3 (2) – 8
y = 6 – 8 = – 2
Respuesta: x = 2 e y = -2
¿Cómo resolver ecuaciones simultáneas utilizando la sustitución?
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Método de la eliminación
En el método de la eliminación, el objeto es hacer que los coeficientes de una variable sean los mismos en ambas ecuaciones para poder eliminar una variable, bien sumando las ecuaciones o restando una de la otra.
Considera el siguiente ejemplo:
2x + 3y = -2 4x – 3y = 14
En este ejemplo los coeficientes de y ya son opuestos (+3 y -3). Basta con sumar las dos ecuaciones para eliminar y.
6x = 12
Para obtener el valor de y, tenemos que sustituir x = 2 en la ecuación 2x + 3y = -2
2(2) + 3y = -2
4 + 3y = -2
3y = -6
y = -2
Respuesta: x = 2 e y = -2
Cómo resolver ecuaciones simultáneas utilizando el método de sustitución y el método de eliminación (o combinación)
Ejemplo del GRE. Pregunta de comparación cuantitativa que involucra ecuaciones simultáneas
¿Cómo resolver ecuaciones simultáneas lineales (lineales) por el método de eliminación?
Se dan cuatro ejemplos en los que el último ejemplo requiere la multiplicación de ambas ecuaciones antes de poder eliminar una de las variables.
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