Guinguette Marais Poitevin

Teorema del ángulo-lado

Las matemáticas son una ciencia pura, así que casi nunca te paran por la calle y te retan a comprobar la congruencia de dos triángulos. Sin embargo, si lo hicieras, podrías comprobar la congruencia de los triángulos de cinco maneras. Conocer tantos métodos como sea posible te ayuda, ya que te da flexibilidad para enfrentarte a cualquier situación, tanto si te paran en la calle como si te quedas perplejo en el aula. Este método es el Teorema del Ángulo Lateral, o AAS.

• Teorema AAS Definición

Probar triángulos congruentes

Existen cinco métodos para probar la congruencia en triángulos, aunque uno de ellos está restringido para su uso con triángulos rectos. Aquí están los cinco:

1. Lado lado lado — SSS
2. Lado ángulo lado — SAS
3. Ángulo lado ángulo — ASA
4. Pierna hipotenusa — HL Reservado para triángulos rectos
5. Ángulo lado ángulo — AAS ¡Eh! Ese es el que nos ocupa!

En otras lecciones hemos ilustrado los otros métodos, y no, no nos limitamos a reordenar al azar «Ángulo» y «Lado» de todas las formas que se nos ocurrieron. Fíjate, por ejemplo, en que no puedes encontrar Ángulo Ángulo como prueba de congruencia (eso está reservado para la semejanza), ni puedes cocinar un postulado de Ángulo Lado Lado.

Cualquier término que veas intercalado entre los otros, esa parte está incluida. Un ángulo o lado incluido está físicamente entre los otros del triángulo. Así que Lado Angulo Lado (SAS) significa un lado, el ángulo junto a ese lado, y luego el lado junto a ese ángulo. Ese lado está por ahí, solo, no entre los ángulos.

Para cada método de comprobación, estás comprobando las tres partes identificadas entre los dos triángulos. Si las partes correspondientes son congruentes para esas tres partes, los dos triángulos son congruentes. Estos métodos de comprobación o pruebas te permiten establecer la congruencia comprobando sólo la mitad de las partes (de tres posibles lados y tres posibles ángulos).

Teorema del AAS

Tu libro de texto probablemente llama a esto un teorema, o puede ser etiquetado como un postulado; ¡no te preocupes! Ten en cuenta el concepto, no las palabras rebuscadas, mientras intentas demostrar que los triángulos son congruentes.

Definición del Teorema AAS

El Teorema AAS dice: Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, los triángulos son congruentes.



Nota que dice «lado no incluido», lo que significa que tomas dos ángulos consecutivos y luego pasas al siguiente lado (en cualquier dirección). ¡No se toma el lado entre esos dos ángulos! (Si lo hicieras, estarías utilizando el Postulado ASA).

Para demostrarlo con triángulos reales, a continuación presentamos con orgullo el △GUM y el △RED.



¿Son congruentes? Fíjate en las pequeñas marcas de trampilla que indican todas las congruencias, que en la taquigrafía matemática utiliza el símbolo ≅.

Las partes congruentes son:

• ∠G ≅ ∠R
• ∠M ≅ ∠D
• Lado GU ≅ Lado RE

Sabemos por estos triángulos que dos ángulos interiores son congruentes (y consecutivos, o próximos), pero no sabemos nada del lado entre ellos. En cambio, aparentemente sin ayuda, aprendemos que otro lado es congruente.

Recorriendo nuestra caja de herramientas llena de métodos de comprobación de congruencia de triángulos, podemos probar cada uno de ellos:

1. Lado Lado Lado (SSS) — Esto no funcionará, porque no conocemos los tres lados
2. Lado Ángulo Lado (SAS) — Esto tampoco funcionará, porque conocemos dos ángulos, no dos lados
3. Ángulo Lado Ángulo (ASA) — Esto al principio parece prometedor, pero el lado que conocemos no es un lado incluido; sobresale por ahí, más allá de uno de los dos ángulos conocidos
4. Pierna hipotenusa (HL) — ¡Olvídate de ella! Está reservado para los triángulos rectángulos, que no tenemos
5. Lado angular (AAS) — ¡Esta es la entrada! Este es el único (el único) que podemos usar



¿Por qué funciona el Teorema AAS?

Rápido, ¿cuánto suman los ángulos interiores de todos los triángulos?

Esperamos que hayas dicho 180º, porque es la respuesta correcta. Si conoces dos ángulos de un triángulo, entonces conoces tres ángulos de un triángulo. Eso no es magia; son matemáticas:

180° – ∠G – ∠M = ∠U

Resolviendo para ∠U ahora tienes dos ángulos con un lado incluido. ¿Has visto eso? Hicimos un recorrido final alrededor de ese lado que sólo sobresalía allí, solo, y lo pusimos entre dos ángulos identificados, ∠G y ∠U. Así que, donde antes teníamos AAS, nos escabullimos alrededor del triángulo y lo convertimos en ASA, que ya es un postulado.

Si dos ángulos y su lado incluido de un triángulo son todos congruentes con dos ángulos correspondientes y su lado incluido de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.

Ejemplo del Teorema de AAS

Aquí ofrecemos dos nuevos triángulos, △LEG y △ARM. Fíjate en todas las rayitas que indican ángulos y lados congruentes:



∠L ≅ ∠A

∠E ≅ ∠R

Lado LG ≅ Lado AM

Sabiendo que los ángulos interiores son congruentes como se indica, ¿qué más sabes?

Esperamos que hayas dicho que ∠G ≅ ∠M, porque:

• 180° – ∠L – ∠E = ∠G
• 180° – ∠A – ∠R = ∠M
• ∠G ≅ ∠M

¿Qué te permite eso ahora? Desplegar ASA y declarar congruentes los dos triángulos, ya que:

∠L ≅ ∠A

Lado LG ≅ Lado AM

∠G ≅ ∠M

Lo que hacen los geómetras de verdad

No tienes necesidad de demostrar la congruencia del tercer ángulo y luego desplegar ASA, ya que tenemos, listo y esperando, el Teorema del AAS. Así que los verdaderos matemáticos y geómetras saltan directamente al AAS y declaran que los dos triángulos son congruentes.

Si tienes que explicar este teorema a otro estudiante, amigo o extraño al azar en la calle, no puedes dar el salto de dos ángulos al misterioso tercer ángulo sin alguna explicación. Entonces es posible que tengas que explicar cómo estamos renunciando esencialmente a uno de nuestros ángulos originales en favor del tercer ángulo.

Es ese cambio mental, de un ángulo dado al tercer ángulo recién identificado, el que te permite aprovechar el impresionante poder del ASA y reunir nuestro lado anteriormente alejado en la prueba.

Por último, después de guiar a tu amigo a través de esos pasos, dale la eficiencia y el poder aún más impresionante de AAS, donde dos ángulos cualesquiera y un lado no incluido pueden ser utilizados para identificar la congruencia entre triángulos. Impresionante, ¿verdad?

Resumen de la lección

Ahora que has jugado con los triángulos y has estudiado estos apuntes, eres capaz de recordar y aplicar el Teorema del Ángulo Lado (AAS), conocer los momentos adecuados para aplicar el AAS, hacer la conexión entre el AAS y el ASA, y (quizás lo más útil de todo) explicar a otra persona cómo el AAS ayuda a determinar la congruencia en los triángulos.

Siguiente lección:

Teorema del AAS