Le théorème de l’AAS (angle-angle-côté)
Les mathématiques étant une science pure, on ne vous arrête presque jamais dans la rue pour vous demander de tester la congruence de deux triangles. Si c’était le cas, cependant, vous pourriez tester la congruence de triangles de cinq façons. Connaître autant de méthodes que possible vous aide, car cela vous donne une certaine souplesse pour faire face à n’importe quelle situation, que vous soyez arrêté dans la rue ou que vous fassiez l’impasse en classe. Cette méthode est le Théorème des angles et des côtés, ou Théorème des AAS.
- Définition du Théorème des AAS
Démontrer la congruence des triangles
Cinq méthodes existent pour tester la congruence des triangles, bien qu’une soit restreinte à l’utilisation des triangles droits. Voici les cinq:
- Côté Côté Côté — SSS
- Côté Angle Côté — SAS
- Angle Côté Angle — ASA
- Jambes Hypoténuse — HL Réservé aux triangles droits
- Angle Côté Angle — AAS Hé ! C’est celui sur lequel nous sommes !
Dans d’autres leçons, nous avons illustré les autres méthodes, et non, nous n’avons pas simplement réarrangé au hasard » Angle » et » Côté » d’autant de façons que nous pouvions y penser. Remarquez, par exemple, que vous ne pouvez pas trouver Angle Angle Angle comme preuve de congruence (c’est réservé à la similitude), ni cuisiner un postulat Côté Côté Angle.
Quel que soit le terme que vous voyez pris en sandwich entre les autres, cette partie est incluse. Un angle ou un côté inclus est physiquement entre les autres dans le triangle. Ainsi, Side Angle Side (SAS) signifie un côté, l’angle voisin de ce côté, puis le côté voisin de cet angle. Ce côté est dehors, tout seul, pas entre les angles.
Pour chaque méthode de test, vous vérifiez les trois parties identifiées entre les deux triangles. Si les parties correspondantes sont congruentes pour ces trois parties, les deux triangles sont congruents. Ces méthodes d’essai ou preuves vous permettent d’établir la congruence en vérifiant seulement la moitié des parties (de trois côtés possibles et de trois angles possibles).
Théorème de l’AAS
Votre manuel scolaire appelle probablement cela un théorème, ou bien il peut être étiqueté comme un postulat ; ne vous en faites pas ! Gardez le concept, et non les mots pointilleux, à l’esprit lorsque vous tentez de prouver la congruence des triangles.
Définition du théorème de l’AAS
Voyez comment il est dit » côté non inclus « , ce qui signifie que vous prenez deux angles consécutifs puis passez au côté suivant (dans un sens ou dans l’autre). Vous ne prenez pas le côté situé entre ces deux angles ! (Si c’était le cas, vous utiliseriez le postulat ASA).
Pour faire la démonstration avec des triangles réels, nous présentons fièrement ci-dessous △GUM et △RED.
Sont-ils congruents ? Remarquez les petites hachures qui indiquent toutes les congruences, ce qui, en sténographie mathématique, utilise le symbole ≅.
Les parties congruentes sont :
- ∠G ≅ ∠R
- ∠M ≅ ∠D
- Côté GU ≅ Côté RE
Nous savons grâce à ces triangles que deux angles intérieurs sont congruents (et consécutifs, ou l’un à côté de l’autre), mais nous ne savons rien du côté qui les sépare. Au lieu de cela, de manière apparemment peu utile, nous apprenons qu’un autre côté est congru.
En parcourant notre boîte à outils pleine de méthodes de test de congruence des triangles, nous pouvons essayer chacune d’entre elles :
- Côté Côté Côté Côté (SSS) — Cela ne fonctionnera pas, car nous ne connaissons pas les trois côtés
- Côté Angle Côté (SAS) — Cela ne fonctionnera pas non plus, car nous connaissons deux angles, pas deux côtés
- Angle Côté Angle (ASA) — Cela semble d’abord prometteur, mais le côté que nous connaissons n’est pas un côté inclus ; il dépasse l’un des deux angles connus
- Jambes hypoténuses (HL) — Oubliez ça ! C’est réservé aux triangles droits, que nous n’avons pas
- Côté d’angle (AAS) — C’est le ticket ! C’est celui (le seul) que nous pouvons utiliser !
Pourquoi le théorème de l’AAS fonctionne-t-il ?
En bref, à combien s’élèvent les angles intérieurs de tous les triangles ?
Nous espérons que vous avez dit 180°, car c’est la bonne réponse. Si vous connaissez deux angles d’un triangle, alors vous connaissez trois angles d’un triangle. Ce n’est pas de la magie, ce sont des mathématiques :
La résolution de ∠U vous donne maintenant deux angles avec un côté inclus. Vous avez vu ça ? Nous avons fait le tour de ce côté qui dépassait, tout seul, et nous l’avons placé entre deux angles identifiés, ∠G et ∠U. Ainsi, là où une fois nous avions AAS, nous avons fait le tour du triangle et l’avons transformé en ASA, qui est déjà un postulat.
Si deux angles et leur côté inclus d’un triangle sont tous congruents à deux angles correspondants et à leur côté inclus d’un autre triangle, les deux triangles sont congruents.
Exemple du théorème d’AAS
Ici nous proposons deux nouveaux triangles, △LEG et △ARM. Remarquez toutes les petites hachures indiquant les angles et côtés congruents :
∠L ≅ ∠A
∠E ≅ ∠R
Côté LG ≅ Côté AM
Sachant que les angles intérieurs sont congruents comme indiqué, que savez-vous d’autre ?
Nous espérons que vous avez dit que ∠G ≅ ∠M, car :
- 180° – ∠L – ∠E = ∠G
- 180° – ∠A – ∠R = ∠M
- ∠G ≅ ∠M
Que cela vous permet-il de faire maintenant ? Déployer ASA et déclarer les deux triangles congruents, puisque :
∠L ≅ ∠A
Côté LG ≅ Côté AM
∠G ≅ ∠M
Ce que font les vrais géomètres
Vous n’avez pas besoin de prouver la congruence du troisième angle puis de déployer ASA, puisque nous avons, tout prêt, le théorème d’AAS. Ainsi, les vrais mathématiciens et géométriciens sautent directement à AAS et déclarent les deux triangles congruents.
Si vous devez expliquer ce théorème à un autre étudiant, un ami ou un inconnu au hasard dans la rue, vous ne pouvez pas faire le saut de deux angles au mystérieux troisième angle sans quelques explications. Vous devrez alors peut-être expliquer comment nous abandonnons essentiellement l’un de nos angles initiaux en faveur du troisième angle.
C’est ce changement mental, d’un angle donné au troisième angle nouvellement identifié, qui vous permet d’exploiter le pouvoir impressionnant de l’ASA et de rassembler notre côté précédemment excentré dans la preuve.
Enfin, après avoir guidé votre ami à travers ces étapes, frappez-le avec l’efficacité et la puissance encore plus impressionnante de l’AAS, où deux angles quelconques et un côté non inclus peuvent être utilisés pour identifier la congruence entre les triangles. Plutôt impressionnant, n’est-ce pas ?
Résumé de la leçon
Maintenant que vous avez bricolé des triangles et étudié ces notes, vous êtes capable de vous rappeler et d’appliquer le théorème de l’angle et du côté (AAS), de connaître les bons moments pour appliquer l’AAS, de faire le lien entre l’AAS et l’ASA, et (peut-être le plus utile de tous) d’expliquer à quelqu’un d’autre comment l’AAS aide à déterminer la congruence dans les triangles.
La prochaine leçon:
Théorème de l’AAS