Exemple
Essayez de mesurer le diamètre d’une balle de tennis à l’aide du bâton de mesure. Quelle est l’incertitude de cette mesure ?
Même si le bâton de mesure peut être lu à 0,1 cm près, vous ne pouvez probablement pas déterminer le diamètre à 0,1 cm près.
- Quels facteurs limitent votre capacité à déterminer le diamètre de la balle ?
- Quelle est une estimation plus réaliste de l’incertitude de votre mesure du diamètre de la balle ?
Réponses : Il est difficile d’aligner le bord de la balle avec les marques de la règle et l’image est floue. Même s’il y a des marques sur la règle tous les 0,1 cm, seules les marques à chaque 0,5 cm apparaissent clairement. Je pense que je peux mesurer de manière fiable l’endroit où se trouve le bord de la balle de tennis à environ la moitié d’un de ces repères, soit environ 0,2 cm. Le bord gauche est à environ 50,2 cm et le bord droit est à environ 56,5 cm, donc le diamètre de la balle est d’environ 6,3 cm ± 0,2 cm.
Autre exemple
Essayez de déterminer l’épaisseur d’un boîtier de CD à partir de cette image.
- Comment pouvez-vous obtenir la mesure la plus précise de l’épaisseur d’un seul boîtier de CD à partir de cette image ? (Même si la règle est floue, vous pouvez déterminer l’épaisseur d’un seul boîtier à moins de 0,1 cm près.)
- Utilisez la méthode que vous venez de décrire pour déterminer l’épaisseur d’un seul boîtier (et l’incertitude de cette mesure)
- Quelle(s) hypothèse(s) implicite(s) faites-vous au sujet des boîtiers de CD ?
Réponses : La meilleure façon de faire la mesure est de mesurer l’épaisseur de la pile et de la diviser par le nombre de boîtiers dans la pile. De cette façon, l’incertitude de la mesure est répartie sur l’ensemble des 36 boîtiers de CD. Il est difficile de lire la règle sur la photo à moins de 0,2 cm près (voir l’exemple précédent). La pile commence à environ 16,5 cm et se termine à environ 54,5 cm, elle mesure donc environ 38,0 cm ± 0,2 cm de long. Divisez la longueur de la pile par le nombre de boîtiers de CD dans la pile (36) pour obtenir l’épaisseur d’un seul boîtier : 1,056 cm ± 0,006 cm. En « répartissant » l’incertitude sur toute la pile de boîtiers, on obtient une mesure plus précise que celle que l’on peut obtenir en mesurant un seul boîtier avec la même règle. Nous supposons que toutes les caisses ont la même épaisseur et qu’il n’y a aucun espace entre elles.
Estimation de l’incertitude à partir de plusieurs mesures
Une façon d’augmenter votre confiance dans les données expérimentales est de répéter la même mesure de nombreuses fois. Par exemple, une façon d’estimer le temps qu’il faut pour que quelque chose se produise est simplement de le chronométrer une fois avec un chronomètre. Vous pouvez diminuer l’incertitude de cette estimation en effectuant cette même mesure plusieurs fois et en prenant la moyenne. Plus vous prenez de mesures (à condition qu’il n’y ait pas de problème avec l’horloge !), meilleure sera votre estimation.
Prendre plusieurs mesures vous permet également de mieux estimer l’incertitude de vos mesures en vérifiant le degré de reproductibilité des mesures. La précision de votre estimation du temps dépend de la dispersion des mesures (souvent mesurée à l’aide d’une statistique appelée écart-type) et du nombre (N) de mesures répétées que vous effectuez.
Considérez l’exemple suivant : Maria a chronométré le temps qu’il faut à une bille d’acier pour tomber du haut d’une table sur le sol en utilisant le même chronomètre. Elle a obtenu les données suivantes :
0,32 s, 0,54 s, 0,44 s, 0,29 s, 0,48 s
En prenant cinq mesures, Maria a considérablement diminué l’incertitude de la mesure du temps. Maria dispose également d’une estimation grossière de l’incertitude de ses données ; il est très probable que le » vrai » temps que met la balle à tomber se situe quelque part entre 0,29 s et 0,54 s. Des statistiques sont nécessaires pour obtenir une estimation plus sophistiquée de l’incertitude.
Quelques concepts statistiques
Lorsqu’on a affaire à des mesures répétées, il existe trois quantités statistiques importantes : la moyenne (ou l’écart-type), l’écart-type et l’erreur-type. Elles sont résumées dans le tableau ci-dessous :
| Statistique | Ce que c’est | Interprétation statistique | Symbole |
| moyenne | une estimation de la valeur « vraie » de la mesure | la valeur centrale | xave | Ecart-type | une mesure de la « dispersion » des données | Vous pouvez être raisonnablement sûr (environ 70% de certitude) que si vous répétez la même mesure une fois de plus, cette prochaine mesure sera éloignée de la moyenne de moins d’un écart-type. | s |
| Erreur standard | une estimation de l’incertitude de la moyenne des mesures | Vous pouvez être raisonnablement sûr (environ 70% sûr) que si vous refaites toute l’expérience avec le même nombre de répétitions, la valeur moyenne de la nouvelle expérience sera éloignée de moins d’une erreur standard de la valeur moyenne de cette expérience. | SE |
Les données de Maria revisitées
Les statistiques des données du chronomètre de Maria sont données ci-dessous :
- xave = 0,41 s
- s = 0,11 s
- SE = 0,05 s
On sait assez bien ce que signifie la moyenne, mais que disent les autres statistiques sur les données de Maria ?
- Écart-type : Si Maria chronomètre une nouvelle fois la chute de l’objet, il y a de bonnes chances (environ 70 %) que la lecture du chronomètre qu’elle obtiendra se situe dans un écart-type de la moyenne. En d’autres termes, la prochaine fois qu’elle mesurera le temps de la chute, il y a environ 70 % de chances que la lecture du chronomètre qu’elle obtiendra soit comprise entre (0,41 s – 0,11 s) et (0,41 s + 0,11 s).
- Erreur standard : Si Maria refaisait toute l’expérience (les cinq mesures), il y a de bonnes chances (environ 70 %) que la moyenne de ces cinq nouvelles mesures se situe dans une erreur standard de la moyenne. En d’autres termes, la prochaine fois que Maria répétera les cinq mesures, la moyenne qu’elle obtiendra sera comprise entre (0,41 s – 0,05 s) et (0,41 s + 0,05 s).
Calcul des statistiques à l’aide d’Excel
Les tableurs (comme Microsoft Excel) permettent de calculer facilement des statistiques. Une fois que vous avez les données dans Excel, vous pouvez utiliser le paquet de statistiques intégré pour calculer la moyenne et l’écart type.
Pour calculer la moyenne des cellules A4 à A8 :
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| Pour calculer l’écart type des cinq nombres, utilisez la fonction STDEV intégrée d’Excel. |  |
| Excel n’a pas de fonction d’erreur standard, vous devez donc utiliser la formule d’erreur standard :
où N est le nombre d’observations |
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Incertitude dans les calculs
Que faire si vous voulez déterminer l’incertitude d’une quantité calculée à partir d’une ou plusieurs mesures ? Il existe des méthodes compliquées et moins compliquées pour le faire. Pour ce cours, nous utiliserons la méthode simple. La méthode des limites supérieures et inférieures de l’incertitude des calculs n’est pas aussi formellement correcte, mais elle fera l’affaire. L’idée de base de cette méthode est d’utiliser les plages d’incertitude de chaque variable pour calculer les valeurs maximale et minimale de la fonction. Vous pouvez également considérer cette procédure comme l’expression des meilleurs et des pires scénarios. Par exaemple, si vous voulez trouver l’aire d’un carré et que vous mesurez un côté comme une longueur de 1,2 +/- 0,2 m et l’autre longueur comme 1,3 +/- 0,3 mètres, alors l’aire serait:
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