door M. Bourne
We leerden oppervlakte onder krommen eerder kennen in het deel Integratie (zie 3. Oppervlakte onder een kromme), maar hier werken we het concept verder uit. (Je bent misschien ook geïnteresseerd in Archimedes en de oppervlakte van een parabolisch segment, waar we leren dat Archimedes de ideeën achter calculus begreep, 2000 jaar voordat Newton en Leibniz dat deden!)
Het is belangrijk om de situatie te schetsen voordat je begint.
We willen de oppervlakte onder de kromme `y = f(x)` vinden van `x = a` tot `x = b`.
We kunnen verschillende situaties hebben:
Geval 1: Krommen die geheel boven de x-as liggen.
De kromme y = f(x), geheel boven de x-as. Geeft een “typische” rechthoek weer, Δx breed en y hoog.
In dit geval vinden we de oppervlakte door eenvoudig de integraal te vinden:
`”Oppervlakte”=int_a^bf(x)dx`
Waar komt deze formule vandaan?
Volgende ⇩
Video minicolleges
Voor wat achtergrond:
Integratie minicollege
Verschil tussen onbepaalde en bepaalde integralen
Integratie door substitutie
Area onder een kromme uit eerste beginselen
In bovenstaand diagram is een “typische rechthoek” afgebeeld met breedte `Δx` en hoogte `y`. De oppervlakte is `yΔx`.
Als we al deze typische rechthoeken bij elkaar optellen, beginnend bij `a` en eindigend bij `b`, dan is de oppervlakte ongeveer:
`sum_{x=a}^b(y)Deltax`
Als we nu `Δx → 0` laten, kunnen we de precieze oppervlakte vinden door integratie:
`”Oppervlakte”=int_a^bf(x)dx`
Dit volgt uit de Riemann-sommen, uit het hoofdstuk Inleiding tot de integratie.
Voorbeeld van geval 1
Grafiekpapier nodig?
Vind de oppervlakte onder de kromme `y = x^2+ 2` van `x = 1` tot `x = 2`.
Antwoord
De kromme y = x2 + 2, waarbij het gedeelte onder de kromme van x = 1 tot x = 2 wordt weergegeven.
`text = int_a^b f(x) dx`
`=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2`
`=13/3` tekst^2`
Voorbeeld 2: Krommen die geheel onder de x-as liggen
We beschouwen het geval waarin de kromme onder de `x`-as ligt voor het beschouwde bereik van `x`-waarden.
In dit geval geeft de integraal een negatief getal. We moeten de absolute waarde hiervan nemen om onze oppervlakte te vinden:
`”Oppervlakte”=|int_a^bf(x)dx|`
Voorbeeld van geval 2
Vind het gebied begrensd door `y = x^2 – 4`, de `x`-as en de lijnen `x = -1` en `x = 2`.
Antwoord
De kromme y = x2 – 4, met het gedeelte onder de kromme van x = -1 tot x = 2.
De benodigde oppervlakte ligt in dit voorbeeld geheel onder de `x`-as, dus moeten we absolute waardetekens gebruiken.
`text = |int_a^bf(x) dx|`
`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|`
`=||`
`=|-9|`
`=9` tekst^2`
Geval 3: Een deel van de kromme ligt onder de x-as, een deel ligt boven de x-as
In dit geval moeten we de afzonderlijke delen optellen, waarbij we de absolute waarde nemen voor het deel waar de kromme onder de `x`-as ligt (van `x = a` tot `x = c`).
`”Oppervlakte”=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
Als we het niet op deze manier doen, zal het “negatieve” gebied (het deel onder de `x`-as) worden afgetrokken van het “positieve” deel, en zal onze totale oppervlakte niet juist zijn.
Voorbeeld van geval 3
Wat is de oppervlakte begrensd door de kromme `y = x^3`, `x = -2` en `x = 1`?
Antwoord
De kromme y = x3, met het deel onder de kromme van x = -2 tot x = 1.
We zien in de grafiek dat het gedeelte tussen `x = -2` en `x = 0` onder de x-as ligt, dus moeten we voor dat gedeelte de absolute waarde nemen.
`text= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`
`=|_-2^0|+_0^1`
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`=4+1/4`
`=4.25` tekst^2`
Doe het niet zo!
Als je gewoon blindelings de integraal van de ondergrens naar de bovengrens vindt, krijg je in zulke gevallen niet de werkelijke oppervlakte.
`text= int_(-2)^1x^3 dx`
`=_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3,25`
Dit is niet het juiste antwoord voor de oppervlakte onder de kromme. Het is de waarde van de integraal, maar het is duidelijk dat een oppervlakte niet negatief kan zijn.
Het is altijd het beste om de kromme te schetsen voordat je oppervlakten onder krommen vindt.
Samenvatting (tot nu toe)
In elk van de gevallen 1, 2 en 3 sommeren we elementen van links naar rechts, op deze manier:
We vinden (in feite) de oppervlakte door de oppervlakten van de rechthoeken, breedte `dx` en hoogtes `y` (die we vinden door de waarden van `x` in `f(x)` te substitueren) horizontaal bij elkaar op te tellen.
Dus
`A=int_a^bf(x)dx`
(waar nodig met absolute waardetekens, als de kromme onder de `x`-as doorloopt).
Voorbeeld 4: Bepaalde krommen zijn veel eenvoudiger verticaal op te tellen
In sommige gevallen is het eenvoudiger de oppervlakte te vinden als we verticale sommen maken. Soms is de enige mogelijke manier om verticaal te sommeren.
In dit geval vinden we dat de oppervlakte de som is van de rechthoeken, hoogtes `x = f(y)` en breedtes `dy`.
Als we `y = f(x)` krijgen, dan moeten we dit herformuleren als `x = f(y)` en moeten we van beneden naar boven sommeren.
Dus, in geval 4 hebben we:
`A=int_c^df(y)dy`
Voorbeeld van geval 4
Vind de oppervlakte van het gebied begrensd door de kromme `y=sqrt(x-1)`, de `y`-as en de lijnen `y = 1` en `y = 5`.
Antwoord
Schets eerst:
De kromme x = y2 + 1, toont het gedeelte “onder” de kromme van y = 1 tot y = 5.
In dit geval drukken we x uit als een functie van y:
`y=sqrt{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1`
Dus de oppervlakte wordt gegeven door:
`A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3 tekst`
Note: Voor dit specifieke voorbeeld hadden we het ook horizontaal kunnen optellen (door `y` te integreren en `dx` te gebruiken), maar dan hadden we het eerst in delen moeten opsplitsen.
top
Zoek IntMath
Online calculus solver
Deze calculus solver kan een breed scala aan wiskundeproblemen oplossen.
Ga naar: Online calculus solver