Calculus III – Cilindrische coördinaten

Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities

Mobiele notitie
Het lijkt erop dat je op een apparaat zit met een “smalle” schermbreedte (je zit dus waarschijnlijk op een mobiele telefoon). Door de aard van de wiskunde op deze site is het het beste te bekijken in landscape mode. Als uw toestel niet in landschapsmodus staat, zullen veel van de vergelijkingen aan de zijkant van uw toestel aflopen (u zou moeten kunnen scrollen om ze te zien) en sommige menu-items zullen worden afgesneden vanwege de smalle schermbreedte.

Hoofdstuk 1-12 : Cilindrische Coördinaten

Zoals in de tweedimensionale ruimte wordt het standaard links( {x,y,z} rechts)-coördinatensysteem het cartesisch coördinatensysteem genoemd. In de laatste twee paragrafen van dit hoofdstuk bekijken we enkele alternatieve coördinatenstelsels voor de driedimensionale ruimte.

We beginnen met het cilindrische coördinatenstelsel. Dit is vrij eenvoudig omdat het niets meer is dan een uitbreiding van poolcoördinaten naar drie dimensies. Niet alleen is het een uitbreiding van poolcoördinaten, maar we breiden het uit naar de derde dimensie net zoals we Cartesische coördinaten uitbreiden naar de derde dimensie. Het enige wat we doen is er een derde coördinaat aan toevoegen. De r- en z-coördinaten zijn dezelfde als bij poolcoördinaten.

Hier volgt een schets van een punt in \({\mathbb{R}^3})

Deze grafiek heeft een standaard 3D-coördinatenstelsel. De positieve z-as staat recht omhoog, de positieve x-as beweegt naar links en iets naar beneden en de positieve y-as beweegt naar rechts en iets naar beneden. Er is een punt met het label $links( x,y,z rechts)=links( r,\theta,z rechts)$ dat in de 1e octant lijkt te liggen (d.w.z. x, y, en z zijn alle positief). Vanuit dit punt valt een stippellijn recht naar beneden in het xy-vlak (en bereikt het onder een rechte hoek) en de stippellijn wordt gelabeld

De omzettingen voor x(x) en y(y) zijn dezelfde omzettingen die we gebruikten toen we naar poolcoordinaten keken. Dus, als we een punt in cylindrische coördinaten hebben, dan kunnen we de cartesische coördinaten vinden door de volgende omzettingen te gebruiken.

De derde vergelijking is gewoon een erkenning dat de \(z\)-coördinaat van een punt in cartesische en polaire coördinaten hetzelfde is.

Ook als we een punt in cartesische coördinaten hebben, kunnen we de cilindrische coördinaten vinden met behulp van de volgende omzettingen.

Laten we eens snel kijken naar enkele oppervlakken in cilindrische coördinaten.

Voorbeeld 1 Identificeer het oppervlak voor elk van de volgende vergelijkingen.

  1. (r = 5)
  2. ({r^2} + {z^2} = 100)
  3. (z = r)

Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen

a \(r = 5) Toon oplossing

In twee dimensies weten we dat dit een cirkel is met straal 5. Omdat we nu in drie dimensies zijn en er geen \(z) in de vergelijking staat, betekent dit dat deze vrij mag variëren. Dus voor elke gegeven straal hebben we een cirkel met straal 5 met het middelpunt op de z-as.

Met andere woorden, we hebben een cilinder met straal 5 met het middelpunt op de z-as.

b ²({r^2} + {z^2} = 100}) Toon oplossing

Deze vergelijking is gemakkelijk te achterhalen als we terugrekenen naar cartesische coördinaten.

Dus dit is een bol met het middelpunt in de oorsprong en een straal van 10.

c ²(z = r²) Toon oplossing

Ook deze is niet zo moeilijk als we terugrekenen naar cartesische coördinaten. Om redenen die uiteindelijk duidelijk zullen worden, kwadrateren we eerst beide zijden en rekenen dan om.

Uit het hoofdstuk over kwadratische oppervlakken weten we dat dit de vergelijking van een kegel is.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *