Guinguette Marais Poitevin

De AAS (Angle-Angle-Side) Stelling

Wiskunde is een zuivere wetenschap, dus je wordt bijna nooit op straat aangehouden en uitgedaagd om twee driehoeken op congruentie te testen. Maar als dat wel zo was, zou je driehoeken op vijf manieren op congruentie kunnen testen. Als je zoveel mogelijk methoden kent, ben je flexibel genoeg om met elke situatie om te gaan, of je nu op straat wordt aangehouden of in de klas voor een probleem staat. Deze methode is de Hoekzijde, of AAS Theorem.

• AAS Theorem Definitie

Congruente Driehoeken Bepalen

Vijf methoden bestaan om de congruentie in driehoeken te testen, hoewel er één beperkt is voor gebruik met rechthoekige driehoeken. Hier zijn ze alle vijf:

1. Zijde Zijde — SSS
2. Zijde Hoek Zijde — SAS
3. Angle Side Angle — ASA
4. Hypotenuse Leg — HL Gereserveerd voor rechterdriehoeken
5. Angle Angle Side — AAS Hey! Dat is de methode waar we mee bezig zijn!

In andere lessen hebben we de andere methoden geïllustreerd, en nee, we hebben niet zomaar willekeurig “Hoek” en “Zijde” herschikt op zoveel manieren als we maar konden bedenken. Merk bijvoorbeeld op dat je Hoek Hoek niet als congruentiebewijs kunt vinden (dat is voorbehouden aan gelijkvormigheid), noch dat je een Zij Zij Hoek postulaat kunt verzinnen.

Welke term je ook tussen de andere ziet staan, dat deel is ingesloten. Een ingesloten hoek of zijde zit fysiek tussen de andere in de driehoek. Dus Zij-Hoek-Zij (SAS) betekent één zijde, de hoek naast die zijde, en dan de zijde naast die hoek. Die zijde is daarbuiten, helemaal alleen, niet tussen de hoeken.

Voor elke testmethode controleer je de drie geïdentificeerde delen tussen de twee driehoeken. Als overeenkomstige delen congruent zijn voor die drie delen, zijn de twee driehoeken congruent. Met deze testmethoden of bewijzen kun je congruentie vaststellen door slechts de helft van de delen te controleren (van drie mogelijke zijden en drie mogelijke hoeken).

AAS Stelling

Je tekstboek noemt dit waarschijnlijk een stelling, of het kan als een postulaat worden bestempeld; maak je daar geen zorgen over! Houd het concept, niet de pietluttige woorden, in gedachten als je probeert te bewijzen dat driehoeken congruent zijn.

AAS Stelling Definitie

Merk op hoe er staat “niet-ingebouwde zijde,” wat betekent dat je twee opeenvolgende hoeken neemt en dan verder gaat naar de volgende zijde (in beide richtingen). Je neemt niet de zijde tussen die twee hoeken! (Als je dat wel deed, zou je het ASA-postulaat gebruiken).

Om het met echte driehoeken te demonstreren, presenteren we hieronder met trots △GUM en △RED.

Zijn ze congruent? Let op de kleine arceringstekens die alle congruenties aangeven, waarvoor in wiskundige steno het symbool ≅ wordt gebruikt.

De congruente delen zijn:

• ∠G ≅ ∠R
• ∠M ≅ ∠D
• Zijkant GU ≅Zijkant RE

We weten van deze driehoeken dat twee binnenhoeken congruent zijn (en opeenvolgend, of naast elkaar), maar we weten niets over de zijde tussen die twee. In plaats daarvan leren we, schijnbaar zonder hulp, dat een andere zijde congruent is.

Gaande door onze gereedschapskist vol driehoek-congruentie-testmethoden, kunnen we elk van die methoden proberen:

1. Zijde Zijde Zijde (SSS) — Dat werkt niet, want we kennen niet alle drie de zijden
2. Zijde Hoek Zijde (SAS) — Dat werkt ook niet, want we kennen twee hoeken, geen twee zijden
3. Angle Side Angle (ASA) — Dit ziet er in eerste instantie veelbelovend uit, maar de zijde die we kennen is geen ingesloten zijde; hij steekt daarbuiten, voorbij een van de twee bekende hoeken
4. Hypotenusa been (HL) — Vergeet het maar! Dit is gereserveerd voor rechthoekige driehoeken, en die hebben we niet
5. Angle Angle Side (AAS) — Dat is het ticket! Dit is de enige die we kunnen gebruiken!

Waarom werkt het AAS Theorema?

Snel, wat is de som van de binnenhoeken van alle driehoeken?

We hopen dat je 180° zei, want dat is het goede antwoord. Als je twee hoeken van een driehoek weet, dan weet je drie hoeken van een driehoek. Dat is geen magie, dat is wiskunde:

Oplossen voor ∠U geeft je nu twee hoeken met een ingesloten zijde. Heb je dat gezien? We hebben een eindspurt gemaakt rond die zijde die daar gewoon uitstak, helemaal alleen, en hebben hem tussen twee geïdentificeerde hoeken geplaatst, ∠G en ∠U. Dus, waar we ooit AAS hadden, zijn we om de driehoek heen gelopen en hebben we er ASA van gemaakt, wat al een postulaat is.

Als twee hoeken en hun ingesloten zijde van een driehoek alle congruent zijn met twee overeenkomstige hoeken en hun ingesloten zijde van een andere driehoek, zijn de twee driehoeken congruent.

AAS Stelling Voorbeeld

Hier bieden we twee nieuwe driehoeken, △LEG en △ARM. Let op alle kleine arceringstekens die congruente hoeken en zijden aangeven:

∠L ≅ ∠A

∠E ≅ ∠R

Zijkant LG ≅Zijkant AM

Weten dat de binnenhoeken congruent zijn zoals vermeld, wat weet je dan nog meer?

We hopen dat je gezegd hebt dat ∠G ≅ ∠M, want:

• 180° – ∠L – ∠E = ∠G
• 180° – ∠A – ∠R = ∠M
• ∠G ≅ ∠M

Wat kun je daarmee nu doen? Zet ASA in en verklaar de twee driehoeken congruent, want:

∠L ≅ ∠A

Zijde LG ≅Zijde AM

∠G ≅ ∠M

Samenvatting van de les

Nu je met driehoeken hebt geknutseld en deze aantekeningen hebt bestudeerd, ben je in staat om de Hoek-Hoek-Zijde Stelling (AAS) te herinneren en toe te passen, weet je de juiste momenten om AAS toe te passen, leg je het verband tussen AAS en ASA, en (misschien wel het handigst van alles) leg je aan iemand anders uit hoe AAS helpt bij het bepalen van congruentie in driehoeken.

Volgende les:

HA Stelling