Het is mogelijk om de oorsprong van het woord “ratio” te herleiden tot het Oudgriekse λόγος (logos). Vroege vertalers vertaalden dit in het Latijn als ratio (“rede”; zoals in het woord “rationeel”). Een modernere interpretatie van Euclides’ betekenis is meer verwant aan berekening of afrekening. Middeleeuwse schrijvers gebruikten het woord proportio (“verhouding”) om verhouding aan te duiden en proportionalitas (“evenredigheid”) voor de gelijkheid van verhoudingen.
Euclides verzamelde de resultaten die in de Elementen staan uit eerdere bronnen. De Pythagoreeërs ontwikkelden een theorie van verhouding en proportionaliteit zoals toegepast op getallen. Het getalbegrip van de Pythagoreeërs omvatte alleen wat tegenwoordig rationale getallen zouden worden genoemd, waardoor twijfel ontstond over de geldigheid van de theorie in de meetkunde, waar, zoals de Pythagoreeërs ook ontdekten, incommensurabele verhoudingen (overeenkomend met irrationele getallen) bestaan. De ontdekking van een theorie van verhoudingen die niet uitgaat van commensurabiliteit is waarschijnlijk te danken aan Eudoxus van Cnidus. De uiteenzetting van de theorie der verhoudingen in Boek VII van De Elementen weerspiegelt de vroegere theorie van de verhoudingen van de commensurabele getallen.
Het bestaan van meerdere theorieën lijkt onnodig ingewikkeld omdat verhoudingen in hoge mate worden vereenzelvigd met quotiënten en hun prospectieve waarden. Dit is echter een betrekkelijk recente ontwikkeling, zoals blijkt uit het feit dat moderne meetkunde handboeken nog steeds verschillende terminologie en notatie gebruiken voor ratio’s en quotiënten. De redenen hiervoor zijn tweeledig: ten eerste was er de eerder genoemde terughoudendheid om irrationale getallen als echte getallen te accepteren, en ten tweede heeft het ontbreken van een algemeen gebruikte symboliek ter vervanging van de reeds gevestigde terminologie van verhoudingen de volledige acceptatie van breuken als alternatief vertraagd tot in de 16e eeuw.
Euclides’ definitiesEdit
Boek V van Euclides’ Elementen bevat 18 definities, die alle betrekking hebben op verhoudingen. Daarnaast gebruikt Euclides ideeën die zo algemeen in gebruik waren dat hij er geen definities voor heeft opgenomen. De eerste twee definities zeggen dat een deel van een grootheid een andere grootheid is die ze “meet” en omgekeerd dat een veelvoud van een grootheid een andere grootheid is die ze meet. In moderne terminologie betekent dit dat een veelvoud van een grootheid die grootheid is vermenigvuldigd met een geheel getal groter dan één en dat een deel van een grootheid (dat wil zeggen aliquoot deel) een deel is dat, wanneer het vermenigvuldigd wordt met een geheel getal groter dan één, de grootheid oplevert.
Euclides geeft geen definitie van de term “maat” zoals hier gebruikt, maar men kan hieruit afleiden dat als een grootheid als meeteenheid wordt genomen, en een tweede grootheid wordt gegeven als een integraal aantal van deze eenheden, dan meet de eerste grootheid de tweede. Deze definities worden bijna woord voor woord herhaald als definitie 3 en 5 in boek VII.
Definitie 3 beschrijft wat een verhouding in algemene zin is. Zij is niet rigoureus in wiskundige zin en sommigen schrijven haar eerder toe aan de redacteuren van Euclides dan aan Euclides zelf. Euclides definieert een verhouding als tussen twee grootheden van dezelfde soort, dus volgens deze definitie zijn de verhoudingen van twee lengten of van twee oppervlakten gedefinieerd, maar niet de verhouding van een lengte en een oppervlakte. Definitie 4 maakt dit duidelijker. Zij stelt dat een verhouding van twee grootheden bestaat, wanneer er van elk een veelvoud bestaat dat groter is dan het andere. In moderne notatie bestaat een verhouding tussen grootheden p en q, als er gehele getallen m en n bestaan zodanig dat mp>q en nq>p. Deze voorwaarde staat bekend als de eigenschap van Archimedes.
Definitie 5 is de meest ingewikkelde en moeilijkste. Zij definieert wat het betekent als twee verhoudingen gelijk zijn. Tegenwoordig kan dit worden gedaan door eenvoudigweg te stellen dat verhoudingen gelijk zijn als de quotiënten van de termen gelijk zijn, maar een dergelijke definitie zou voor Euclides betekenisloos zijn geweest. In moderne notatie is Euclides’ definitie van gelijkheid dat gegeven hoeveelheden p, q, r en s, p∶q∷r ∶s als en slechts als, voor gelijk welke positieve gehele getallen m en n, np<mq, np=mq, of np>mq volgens respectievelijk nr<ms, nr=ms, of nr>ms. Deze definitie heeft verwantschap met Dedekind sneden omdat, met n en q beide positief, np staat tot mq zoals p/q staat tot het rationale getal m/n (door beide termen te delen door nq).
Definitie 6 zegt dat hoeveelheden die dezelfde verhouding hebben evenredig of in verhouding zijn. Euclides gebruikt het Griekse ἀναλόγον (analogon), dit heeft dezelfde wortel als λόγος en is verwant aan het Engelse woord “analog”.
Definitie 7 definieert wat het betekent dat een verhouding kleiner of groter is dan een andere en is gebaseerd op de ideeën die in definitie 5 voorkomen. In moderne notatie staat er dat gegeven hoeveelheden p, q, r en s, p∶q>r∶s als er positieve gehele getallen m en n zijn zodat np>mq en nr≤ms.
Zoals bij definitie 3, wordt definitie 8 door sommigen beschouwd als een latere invoeging door de redacteuren van Euclides. Zij definieert drie termen p, q en r als evenredig wanneer p∶q∷q∶r. Dit wordt uitgebreid tot 4 termen p, q, r en s als p∶q∷q∶r∷r∶s, enzovoort. Opeenvolgingen die de eigenschap hebben dat de verhoudingen van opeenvolgende termen gelijk zijn, heten meetkundige progressies. De definities 9 en 10 passen dit toe door te zeggen dat als p, q en r evenredig zijn, p∶r de drievoudige verhouding is van p∶q en als p, q, r en s evenredig zijn, p∶s de drievoudige verhouding is van p∶q.