We hebben gekeken naar de betekenis van de afgeleide, en van de verschillende notaties, waaronder dy/dx. Dit leidt tot de volgende vraag: Wat betekent dx of dy op zichzelf? Dit werd de vorige keer al aangestipt, maar er is nog veel meer te zeggen dat ik daar niet kwijt kon. We zullen kijken naar meer geavanceerde benaderingen van differentialen op zichzelf, en dan naar twee perspectieven op wat ze betekenen in integralen.
Differentialen als functies
We beginnen met de pagina waarnaar twee van ons de vorige keer verwezen in onze antwoorden, die uit 1998 komt:
DifferentialsI have to reach this conclusion:If you can get the differentials of a function, you can differentiate it, but if you can differentiate it, you can not necessarily get its differentials.Please help.
Zoals we al hebben gezien, kunnen differentialen vanuit verschillende perspectieven worden besproken. Deze vraag, zonder duidelijke context, geeft niet aan wat voor functie het betreft, of welke benadering van differentialen wordt gekozen. Wat betekent het hier om “de differentialen van een functie te krijgen”? Dokter Jerry gaf antwoord door een mogelijke context aan te geven, met een definitie die nogal verschilt van wat we tot nu toe hebben gezien, waar differentialen slechts infinitesimale getallen waren:
Hi Maria,The standard definition of the differential of a real-valued function f of a real variable is: At a given point x, the differential df_x (df sub x; usually the x is omitted) of f is the linear function defined on R by: df_x(h) = f'(x) * hEveryday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function. For example, if y = f(x) = x^2, then we write: dy = df = 2x * dxwhere dx is used instead of h. This is for good reason. The finite numbers dy and dx appearing in dy = 2x * dx can be manipulated to obtain: dy/dx = 2xI feel that I haven't replied directly to your question. I think that this is because I don't fully understand your question. Please write again if my answer has not helped.
Deze definitie gaat ervan uit dat het differentiaal van een functie zelf een functie is, namelijk de functie waarvan de waarde de verticale verandering \(delta y\) langs de raaklijn is voor een gegeven horizontale verandering (h of \(delta x\) of dx). Op deze manier hoeven we dy niet te zien als een getal dat eigenlijk geen getal is (een infinitesimaal), maar krijgen we de actie van het vermenigvuldigen van de afgeleide met een willekeurig getal dx.
In zijn voorbeeld is het differentiaal van f(x) = x^2 bij x = 3 gelijk aan df(h) = df_3(h) = f'(3)^cdot h = 6h). Vanuit dit perspectief is de gebruikelijke manier om het differentiaal te schrijven alsof het een getal is, slechts een kortere weg. Met behoud van de variabele x kunnen we voluit zeggen: ƒ(df_x(dx) = 2x dx), of kortweg gewoon: ƒ(dy = 2x dx). Voor een heel iets andere versie van deze definitie, zie hier.
Maria vroeg om meer, gaf iets meer context maar maakte nog steeds niet helemaal duidelijk op welk niveau ze zit:
Thanks for your answer. I know that the question is a little bit confusing, and at the beginning I thought it was a problem of the translation from English of the Math books. Your answer helped a little, so I am going to try to rephrase it.What is the difference between finding the derivatives of a function (dy/dx), and finding its differentials (dy, dx)?In the books I've seen they define differentials supposing that f(x) is differentiable.My teacher gave a hint to reach this conclusion: if you can find the differentials of f, then f is differentiable, but if f is differentiable you can't necessarily find its differentials.That is why I can prove this, starting with a function that is differentiable.
Het is nog steeds onduidelijk wat “de afgeleiden van een functie” betekent; misschien bedoelt ze geen meervoud.
Doctor Jerry begon zijn antwoord met het herhalen van de vorige definitie:
Hi Maria,Suppose f(x) = x^2. To find the derivative of f we use the definition of derivative: f'(x) is the limit as h->0 of the quotient f(x+h) - f(x) ------------- hFor this function, f'(x) = 2x.Okay, this much is clear; there is no possible ambiguity.The differential of f at x is defined to be the linear function df, which is defined on all of R by: df(h) = f'(x) * hOften, the notation df(h) is shortened to df or, if y = f(x), then we write dy instead of df. Then the above definition is: dy = f'(x)*dx or dy/dx = f'(x)Unless you are studying differential geometry, in which dx is interpreted slightly differently, dx is not the differential of a function. It is a variable, the same as h.
Ik ga de rest van het antwoord achterwege laten, want volgens mij zijn de vraag en de context ervan nooit verduidelijkt, dus het is niet duidelijk welk antwoord nodig is.
Als u dieper wilt graven …
Doctor Jerry noemde terloops differentiaalmeetkunde, als een plaats waar differentialen dieper worden gedefinieerd. We zijn slechts af en toe op dat terrein geweest; ik wil alleen de conclusie citeren van een niet-gearchiveerd antwoord op een vraag over differentialen, door dokter Fenton in 2009, voor het geval u geïnteresseerd bent:
There is also a more sophisticated viewpoint in which what is integrated is not a function f(x), but rather what is called a "differential form". This viewpoint involves a lot of complicated mathematical structure and is more commonly seen in calculus of functions of several variables (see, for example, http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form )but it can also be used in one-dimensional calculus as well (e.g. in David Bressoud's book _Second Year Calculus_).So, the easiest viewpoint is the purely formal one, in which you do useful but basically meaningless computations (du=g'(x)dx which does the bookkeeping), but there is also a more complicated viewpoint in which the computations are not meaningless, but they require you to learn more abstract mathematics. For example, the one-dimensional differential form dx becomes a mapping from intervals on the real line to R, and dx() = b-a ,while the differential form 3x^2dx (to use one of Bressoud's examples) is the mapping which takes the interval to b / b^3 a^3 | 3x^2 dx = --- - --- . / 3 3 aThis becomes the viewpoint used in modern differential geometry.
Differentialen in bepaalde integraalnotatie
Vorige week hadden we het over het gebruik van differentialen binnen symbolen voor de afgeleide. Laten we eens kijken naar een paar vragen over het gebruik ervan bij integratie. Ten eerste hebben we dit, uit 2002:
The Meaning of 'dx' in an IntegralNo matter how many times it's explained to me, and even though I've taken several advanced math courses (diff eq, linear algebra, etc), nobody has ever given me a satisfactory explanation for the meaning of the notation in which an integral has dx appended to the end if x is the variable which we are integrating with respect to. In physics, for example, dx seems to mean a very small amount of x, and then we use it in an integral to integrate whatever physical quantity is being discussed. I just don't understand. Or, when a differential is defined, all of a sudden the dx has a meaning, but then when an integral is being evaluated, the teacher says, "Oh, the dx is just a formality." So, sometimes it's a formality, sometimes a vital concept, sometimes a physical quantity, sometimes a derivative: What is it?
Wanneer we f(x) dx(x) schrijven, lezen we dat als “de integraal van f(x) met betrekking tot x,” waarbij we aan “dx” geen andere betekenis toekennen dan dat het ons vertelt om welke variabele het gaat. (In feite kan de dx soms gewoon helemaal weggelaten worden, als de variabele duidelijk is!) Dit verschilt niet veel van het gebruik in een afgeleide, waar het ook “ten opzichte van x” betekent. Wat betekent het hier?
Doctor Jeremiah ging op de vraag in, waarbij hij zich concentreerde op het idee van een bepaalde integraal:
Hi Nosson,Think about it this way:An integral gives you the area between the horizontal axis and the curve. Most of the time this is the x axis. y | | --|-- ----|---- f(x) / | \ / | / | -------- | | / | | -----|------- | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is: b / Area = | f(x) dx / a
Dit is een definitie van de bepaalde integraal, in brede zin; wat volgt definieert hoe deze in principe kan worden berekend (en dus, hoe deze formeel is gedefinieerd):
But say you didn't want to use an integral to measure the area between the x axis and the curve. Instead you just calculate the average value of the graph between a and b and draw a straight flat line y = avg(x) (the average value of x in that range).Now you have a graph like this: y | | - | - - - | - - f(x) | / | \ / | -----|-----------------------------------|---- avg(x) | / | | - - -|- - - - | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is a rectangle: Area = avg(x) w where w is the width of the sectionThe height is avg(x) and the width is w = b-a or in English, "the width of a slice of the x axis going from a to b."
De breedte w zou men vaak (delta x) noemen; dat zien we later.
But say you need a more accurate area. You could break the graph up into smaller sections and make rectangles out of them. Say you make 4 equal sections: y | | |----|---| |-------|---- f(x) | | | | | | | |--------| | | | | | | | -----|---------| | | | | | | | | | | | | | | | | ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x a bAnd the area is: Area = section 1 + section 2 + section 3 + section 4 = avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) wwhere w is the width of each section. The sections are all the same size, so in this case w=(b-a)/4 or in English, "the width of a thin slice of the x axis or 1/4 of the width from a to b."
We beginnen de Reimann-integraal te ontwikkelen (al zijn er nog veel details nodig om een volledige definitie te maken, want de breedtes hoeven bijvoorbeeld niet echt gelijk te zijn).
And if we write this with a summation we get: 4 +--- \ Area = / avg(x,n) w +--- n=1But it's still not accurate enough. Let's use an infinite number of sections. Now our area becomes a summation of an infinite number of sections. Since it's an infinite sum, we will use the integral sign instead of the summation sign: / Area = | avg(x) w /where avg(x) for an infinitely thin section will be equal to f(x) in that section, and w will be "the width of an infinitely thin section of the x axis."So instead of avg(x) we can write f(x), because they are the same if the average is taken over an infinitely small width.
Opnieuw worden veel details weggelaten om het intuïtief te houden.
And we can rename the w variable to anything we want. The width of a section is the difference between the right side and the left side. The difference between two points is often called the delta of those values. So the difference of two x values (like a and b) would be called delta-x. But that is too long to use in an equation, so when we have an infinitely small delta, it is shortened to dx.If we replace avg(x) and w with these equivalent things: / Area = | f(x) dx /
Dus, net als in de infinitesimale benadering van de afgeleide, wordt dx (informeel) opgevat als een zeer kleine verandering in x.
So what the equation says is:Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are f(x) high and dx wide (where dx is an infinitely small distance).So you need the dx because otherwise you aren't summing up rectangles and your answer wouldn't be total area.dx literally means "an infinitely small width of x".
Dit geldt natuurlijk specifiek voor de bepaalde integraal. Vanuit dit perspectief kunnen we denken dat de onbepaalde integraal dezelfde notatie erft via de Fundamentele Stelling van de Calculus, die de twee aan elkaar koppelt.
Het differentiaal hoeft niet aan het eind te staan!
Een gevolg van leerlingen leren dat het differentiaal in een integraal alleen betekent “… ten opzichte van x” blijkt uit de volgende vraag, uit 2003, over een relatief ongebruikelijke variatie in de notatie:
Integral Notation - Missing IntegrandsI have seen some integral notation used that I am not familiar with. It looks like this: / | dx f(x) + .../There does not seem to be an integrand (i.e. a function being integrated). I'm not sure if f(x) is to be integrated. I have two theories, but I can't see the point in writing the expression as it is if either of my theories is correct.My theories about what this might mean:1) The above notation is the same as writing: / | 1 dx f(x) + ... (note the explicit 1 here)/=(x + C) * f(x) + ... (where C is a constant of integration)2) The rest of the expression is to be integrated with respect to x.If (1) is correct, then what was the point of writing the integral - why wasn't (x + C) just written instead? If (2) is correct, then how does one know when to "stop integrating" (i.e. if there is some term to be added on to the expression that is not to be integrated, how is it distinguished?).I have seen this recently in multi-variate calculus, i.e. when x is in R^n rather than R: does this situation justify the use of the integral notation somehow?
Chris’ eerste gok is dat de dx de integraal afsluit, zodat wat volgt vermenigvuldigd moet worden; de tweede (die juist is) is dat het niet uitmaakt waar de dx komt te staan.
Hij heeft gelijk dat deze notatie vooral gebruikelijk is in calculus met meer dan één variabele. Je zou bijvoorbeeld $$$$$0^b dy$0^a dx f(x,y)$ of $$$0^b dy$0^a f(x,y) dx$ in plaats van $$$0^b$0^a f(x,y)dx dy$ om aan te geven dat we eerst moeten integreren ten opzichte van x, en dan het resultaat integreren ten opzichte van y. Een voordeel is dat het gemakkelijker is om te zien welke limieten bij welke variabele horen.
Ik antwoordde:
Hi, Chris.It is common to learn about integration in such a way that the "dx" seems to be a marker for the end of the integral, as if the "long S" were a left parenthesis and the "dx" were the right parenthesis. But it doesn't work that way. In fact, what you are integrating is the product of a function and dx; and multiplication is commutative! So these mean the same thing: / / | f(x) dx and | dx f(x) / /If you then add something, you must use parentheses if it is to be part of the integral: / / | dx f(x) + g(x) = + g(x) / /is the sum of an integral and a function, while / / | dx (f(x) + g(x)) = | (f(x) + g(x)) dx / /is the integral of the sum of two functions.That is, presumably the integral has higher precedence than addition, so you "stop integrating" at the first plus sign. But even then, I'm not positive that this rule I just made up is always followed; let me know if you think it doesn't fit the practice in your text, and show me an example.
Het differentiaal als onderdeel van een product zien, is nodig om de notatie te begrijpen. Dit kan of je nu aan dx denkt als een gewone notatie, zodat het “product” even illusoir is als het “quotiënt” in een afgeleide, of je denkt expliciet aan de Riemann som.
Ik zie mijn ideeën over haakjes niet universeel gevolgd; het is niet ongewoon om \(\int x^2-2x+3 dx\) te zien in plaats van \(\int (x^2-2x+3) dx\). Dit is waarschijnlijk te wijten aan het gebruikelijk gebruik van het differentiaal om de integrand af te sluiten, en het feit dat het zinloos zou zijn om de dx alleen met de laatste term te associëren, ondanks de gebruikelijke volgorde van bewerkingen. Deze laksheid kan overgaan in integralen waar dx eerst wordt geschreven, hoewel de dubbelzinnigheid daar veel groter is. Maar al te vaak, net als bij sommige andere aspecten van de volgorde van bewerkingen, moet je uiteindelijk maar zien welke interpretatie in de context zinvol is.
Tijdens het schrijven van dit artikel is het me opgevallen dat mijn verwijzing naar commutativiteit niet helemaal opgaat, vooral als het gaat om bepaalde integralen. De volgende integralen zijn niet hetzelfde: $ Alles aan calculusnotatie is een beetje glibberig.
Chris antwoordde,
Doctor Peterson,Thank you for your quick and helpful reply.I was indeed taught that integration begins with the "long S" and ends with the (for example) dx.I have, however, seen the following notation: / | dx | ------------ | f(x) + g(x)/and assumed it was a convenient notation rather than being a justifiable mathematical expression.Perhaps I need to go and look at calculus from first principles again to see why this is the case.
Dat is zowel handige notatie als te rechtvaardigen! Nogmaals, we denken aan de dx als vermenigvuldigd met een breuk, en daarom gelijk aan een deel van de teller.
Een bijzonder goed voorbeeld van het nut van de differentiaal in een onbepaalde integraal doet zich voor in de substitutiemethode, waar we de dx kunnen vervangen door een uitdrukking die we daadwerkelijk vermenigvuldigen:
Why Does Integration by Substitution Work?
Ik heb die pagina bekeken in de post Integratie door substitutie.