por M. Bourne
Conhecemos áreas sob curvas mais cedo na secção Integração (ver 3. Área Sob uma Curva), mas aqui desenvolvemos o conceito mais profundamente. (Pode também estar interessado em Arquimedes e na área de um segmento parabólico, onde aprendemos que Arquimedes compreendeu as ideias por detrás do cálculo, 2000 anos antes de Newton e Leibniz o terem feito!)
É importante esboçar a situação antes de começar.
Desejamos encontrar a área sob a curva `y = f(x)` de `x = a` a `x = b`.
Podemos ter várias situações:
Caso 1: Curvas que estão inteiramente acima do eixo x.
A curva y = f(x), completamente acima do eixo x. Mostra um rectângulo “típico”, Δx largo e y alto.
Neste caso, encontramos a área simplesmente encontrando a integral:
`”Área”=int_a^bf(x)dx`
De onde veio esta fórmula?
Continua abaixo ⇩
Mini-electuras de vídeo
Para algum fundo:
Mini-electuras de Integração
Diferença entre Integrais Indefinidos e Definitivos
Integração por Substituição
Área sob uma Curva dos Primeiros Princípios
No diagrama acima, é mostrado um “rectângulo típico” com largura `Δx` e altura `y`. A sua área é `yΔx`.
Se adicionarmos todos estes rectângulos típicos, começando em `a` e terminando em `b`, a área é aproximadamente:
`sum_{x=a}^\b(y)Deltax`
Agora se deixarmos `Δx → 0`, podemos encontrar a área exacta por integração:
`”Área”=int_a^bf(x)dx`
Isto decorre dos Sums de Riemann, do capítulo Introdução à Integração.
Exemplo do caso 1
Need Graph Paper?
P>Encontrar a área por baixo da curva `y = x^2+ 2` de `x = 1` a `x = 2`.
Resposta
A curva y = x2 + 2, mostrando a parte sob a curva de x = 1 a x = 2.
`texto = int_a^b f(x) dx`
“=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2“
“`=“
`=13/3\ texto^2`
Caso 2: Curvas que estão inteiramente abaixo do eixo x
Consideramos o caso em que a curva está abaixo do eixo `x`- para a gama de valores `x` a ser considerada.
Neste caso, o integral dá um número negativo. Precisamos de tomar o valor absoluto deste para encontrar a nossa área:
`”Área”=|int_a^bf(x)dx|“
Exemplo do Caso 2
Encontrar a área delimitada por `y = x^2 – 4`, o eixo `x` e as linhas `x = -1` e `x = 2`.
Resposta
A curva y = x2 – 4, mostrando a parte sob a curva de x = -1 a x = 2.
A área requerida está totalmente abaixo do eixo `x` neste exemplo, pelo que precisamos de utilizar sinais de valor absoluto.
`texto = |int_a^bf(x) dx|`
“=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|`
“==|`
“=|-9|`
`==9\ texto^2`
Caso 3: Parte da curva está abaixo do eixo x, parte dela está acima do eixo x
Neste caso, temos de somar as partes individuais, tomando o valor absoluto da secção onde a curva está abaixo do eixo `x`- (de `x = a` a `x = c`).
`”Área”=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
se não o fizermos desta forma, a área “negativa” (a parte abaixo do eixo `x`) será subtraída da parte “positiva”, e a nossa área total não será correcta.
Exemplo do Caso 3
Qual é a área delimitada pela curva `y = x^3`, `x = -2` e `x = 1`?
Resposta
A curva y = x3, mostrando a parte sob a curva de x = -2 a x = 1.
Podemos ver pelo gráfico que a porção entre `x = -2` e `x = 0` está abaixo do eixo x, pelo que precisamos de tomar o valor absoluto para essa porção.
“texto= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`
“=|_-2^0|+_0^1“
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`==4+1/4“
`==4.25\ text^2`
Não o faça assim!
Se encontrar cegamente o integral do limite inferior ao limite superior, não obterá a área real em tais casos.
`texto= int_(-2)^1x^3 dx`
“_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3.25`
Esta não é a resposta correcta para a área sob a curva. É o valor da integral, mas claramente uma área não pode ser negativa.
É sempre melhor esboçar a curva antes de encontrar áreas sob curvas.
Sumário (até agora)
Em cada um dos casos 1, 2 e 3, estamos a somar elementos da esquerda para a direita, assim:
Estamos (efectivamente) a encontrar a área ao colocar horizontalmente as áreas dos rectângulos, largura `dx` e alturas `y` (que encontramos ao substituir os valores de `x` por `f(x)`).
Então
`A=int_a^bf(x)dx`
(com sinais de valor absoluto, se a curva passar por baixo do eixo `x`).
Caso 4: Certas curvas são muito mais fáceis de somar verticalmente
Em alguns casos, é mais fácil encontrar a área se tomarmos somas verticais. Por vezes a única forma possível é somar verticalmente.
Neste caso, descobrimos que a área é a soma dos rectângulos, alturas `x = f(y)` e largura `dy`.
Se nos for dado `y = f(x)`, então precisamos de reexprimir isto como `x = f(y)` e precisamos de somar de baixo para cima.
Então, no caso 4, temos:
“A=int_c^df(y)dy`
Exemplo do Caso 4
P>Conte a área da região delimitada pela curva `y=sqrt(x-1)`, o eixo `y` e as linhas `y = 1` e `y = 5`.
Resposta
Sketch first:
A curva x = y2 + 1, mostrando a parte “debaixo” da curva de y = 1 a y = 5.
Neste caso, exprimimos x em função de y:
`y=sqrt{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1“
Então a área é dada por:
“A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3\ text`
Nota: Para este exemplo em particular, poderíamos também tê-lo resumido horizontalmente (integrando `y` e utilizando `dx`), mas primeiro teríamos de o dividir em secções.
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