Guinguette Marais Poitevin

A análise da simultaneidade mostra que os postulados de Einstein implicam um efeito importante: Os intervalos de tempo têm valores diferentes quando medidos em diferentes quadros de inércia. Suponha, por exemplo, que um astronauta mede o tempo que leva para um impulso de luz percorrer uma distância perpendicular à direcção do movimento do seu navio (em relação a um observador terrestre), ricochetear num espelho, e regressar (Figura \PageIndex{1a})). Como se compara o tempo decorrido que o astronauta mede na nave com o tempo decorrido que um observador terrestre mede observando o que está a acontecer na nave?

p>Examinar esta questão leva a um resultado profundo. O tempo decorrido para um processo depende do observador que o está a medir. Neste caso, o tempo medido pelo astronauta (dentro da nave espacial onde o astronauta está em repouso) é menor do que o tempo medido pelo observador ligado à terra (para quem o astronauta se desloca). O tempo decorrido para o mesmo processo é diferente para os observadores, porque a distância que o pulso de luz percorre na armação do astronauta é menor do que na armação ligada à terra, como se vê na Figura 1b). A luz viaja à mesma velocidade em cada moldura, pelo que demora mais tempo a percorrer a maior distância na moldura ligada à terra.

Para comparar quantitativamente as medições de tempo nos dois quadros de inércia, podemos relacionar as distâncias na Figura 1b, depois expressar cada distância em termos do tempo de viagem (respectivamente, ou delta t) ou delta t) do pulso no quadro de referência correspondente. A equação resultante pode então ser resolvida para Delta t) em termos de Delta t).

Os comprimentos D e L na figura 1c) são os lados de um triângulo direito com hipotenusa. Do teorema de Pitágoras,

p>p> Os comprimentos de Pietágoras (2s) e (2L) são, respectivamente, as distâncias que o pulso de luz e a nave espacial percorrem no tempo na moldura do observador ligado à terra. O comprimento é a distância que o pulso de luz percorre no tempo na moldura do astronauta. Isto dá-nos três equações:

\ 2L &= v\Delta t; \ 2D &= c\Delta \tau. \{alinhamento*}]

Nota que utilizámos o segundo postulado de Einstein, tomando a velocidade da luz para ser c em ambos os quadros inercial. Substituímos estes resultados na expressão anterior do teorema de Pitágoras:

p> esquerda(c\dfrac{\Delta t}{2}{2}direita)^2 &= ^esquerda(c\dfrac{\Delta ^2 direita)^2 +esquerda(v\dfrac{\Delta t}{2}{2}direita)^2 ^2end{alinhamento*}]

Então reordenamos para obter

p>>p>Finalmente, resolvendo para o Delta, em termos de Delta, dá-nos factor relativista (muitas vezes chamado factor Lorentz) dado por

/p>p>e \(v) e \(c) são as velocidades do observador em movimento e da luz, respectivamente.

Nota a assimetria entre as duas medidas. Apenas uma delas é uma medição do intervalo de tempo entre dois eventos – emissão e chegada do pulso de luz – na mesma posição. É uma medição do intervalo de tempo no quadro de descanso de um único relógio. A medição no quadro de terra implica a comparação do intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem em locais diferentes. O intervalo de tempo entre eventos que ocorrem num único local tem um nome separado para o distinguir do tempo medido pelo observador ligado à terra, e usamos o símbolo separado \(\Delta \tau) para nos referirmos a ele ao longo deste capítulo.

A equação relacionada com o intervalo de tempo adequado entre dois eventos é verdadeiramente notável. Em primeiro lugar, como foi dito anteriormente, o tempo decorrido não é o mesmo para observadores diferentes que se deslocam um em relação ao outro, mesmo que ambos se encontrem em estruturas inercialmente. Um intervalo de tempo adequado para um observador que, tal como o astronauta, se move com o aparelho, é menor do que o intervalo de tempo para outros observadores. É o menor tempo medido possível entre dois eventos. O observador ligado à Terra vê os intervalos de tempo dentro do sistema em movimento como dilatados (ou seja, alongados) relativamente à forma como o observador em movimento em relação à Terra os vê dentro do sistema em movimento. Em alternativa, de acordo com o observador ligado à Terra, passa menos tempo entre os eventos dentro do quadro em movimento. Note-se que o tempo decorrido mais curto entre eventos está no quadro inercial em que o observador vê os eventos (por exemplo, a emissão e chegada do sinal luminoso) ocorrer no mesmo ponto.

Este efeito de tempo é real e não é causado por relógios imprecisos ou medições inadequadas. As medições do intervalo de tempo do mesmo evento diferem para os observadores em movimento relativo. A dilatação do tempo é uma propriedade intrínseca do próprio tempo. Todos os relógios em movimento relativo a um observador, incluindo os relógios biológicos, tais como o bater do coração de uma pessoa, ou o envelhecimento, são observados a correr mais lentamente em comparação com um relógio que está parado em relação ao observador.

Nota que se a velocidade relativa for muito inferior à velocidade da luz (v << c), então \(v^2/c^2\) é extremamente pequena, e os tempos decorridos são quase iguais. A baixas velocidades, a física baseada na relatividade moderna aborda a física clássica – todas as experiências quotidianas envolvem efeitos relativistas muito pequenos. No entanto, para velocidades próximas da velocidade da luz, (v^2/c^2) está próximo de uma, pelo que oqrt{1 – v^2/c^2}) é muito pequeno e torna-se significativamente maior do que o delta t).

= ^dfrac{1}{sqrt{1 – v^2/c^2}}delta ^tau ^dfrac{Delta ^delta t} &= \sqrt{1 – v^2/c^2} \\ esquerda(ddelta t) direita)2 &= 1 – ^dfrac{v^2}{c^2}{c^2} \\ dfrac{v}{c} &= \sqrt{1 – (\Delta \tau/\Delta t)^2}. \^end{align*}]

Faz o cálculo:

\

Significação

O resultado mostra que um objecto deve viajar a cerca de 10% da velocidade da luz para que o seu movimento produza efeitos relativistas de dilatação temporal significativos.

Cálculo de um Evento Relativista

p>Se um raio cósmico colidir com um núcleo na atmosfera superior da Terra produz um muão que tem uma velocidade \(v = 0,950c\). O muão viaja então a uma velocidade constante e vive 2,20 μs tal como medido no quadro de referência do muão. (Pode imaginar isto como o relógio interno do muon.) Quanto tempo vive o muon medido por um observador terrestre (Figura \PageIndex{2}}?

Como discutiremos mais tarde, no quadro de referência do muão, ele percorre uma distância menor do que a medida no quadro de referência da Terra.

Estratégia

Um relógio em movimento com o muon mede o tempo adequado do seu processo de decaimento, pelo que o tempo que nos é dado é {Delta \tau = 2,20mu s}). O observador ligado à terra mede como dado pela equação Delta t = Delta gamma). Como a velocidade é dada, podemos calcular o tempo no quadro de referência da Terra.

Solução

1. Identificar os conhecimentos: \(v = 0,950c); {delta {tau = 2,20mu s}.

Identificar o desconhecido: \(delta t).li>Expressar a resposta como uma equação. Usar:

\\

com

\

2. Faz o cálculo. Usar a expressão para {gamma} para determinar a partir de {delta t}:

   &=dfrac{1}{sqrt{1 – {v^2}{c^2}}delta {delta ^tau {&=dfrac{2.20mu s}{sqrt{1 – (0.950)^2}}} \\&= 7.05, \u s.|end{align*}]

   Lembre-se de manter números extra significativos até à resposta final.

Significado

Uma implicação deste exemplo é que porque \(\gamma = 3,20\) a 95,0% da velocidade da luz (\ v = 0,950c)), os efeitos relativistas são significativos. Os dois intervalos de tempo diferem por um factor de 3,20, quando classicamente seriam os mesmos. Diz-se que algo que se move a 0,950c é altamente relativista.

= 3,33 vezes 10^{-9} \s. {alinhamento*}]/li>/ol>

Significação

O tempo de viagem é extremamente curto, como se esperava. Como o cálculo está inteiramente dentro de um único quadro de referência, a relatividade não está envolvida, embora a velocidade do electrão esteja próxima de c.

Estratégia para (b)

(b) No quadro de referência do electrão, o tubo de vácuo está em movimento e o electrão está estacionário. O cátodo emissor de electrões deixa o electrão e a parte frontal do tubo de vácuo atinge o electrão com o electrão no mesmo local. Por conseguinte, utilizamos a fórmula de dilatação temporal para relacionar o tempo adequado no quadro de repouso do electrão com o tempo no quadro de televisão.

Solução

1. Identificar os conhecimentos (da parte a):

   \

2. Identificar o desconhecido: \(da parte a).

Expressar a resposta como uma equação:

\

3. Faz o cálculo:

   \ &= 3,26 ^{-9}s vezes 10^{-9}s. \{{alinhamento*}]

Significação

O tempo de viagem é mais curto no quadro electrónico de referência. Como o problema requer encontrar o intervalo de tempo medido em diferentes quadros de referência para o mesmo processo, a relatividade está envolvida. Se tivéssemos tentado calcular o tempo no quadro de repouso do electrão simplesmente dividindo os 0,200 m pela velocidade, o resultado seria ligeiramente incorrecto devido à velocidade relativista do electrão.