Guinguette Marais Poitevin

As distribuições de carga que vimos até agora têm sido discretas: compostas de partículas pontuais individuais. Isto está em contraste com uma distribuição de carga contínua, que tem pelo menos uma dimensão não nula. Se uma distribuição de carga for contínua em vez de discreta, podemos generalizar a definição do campo eléctrico. Simplesmente dividimos a carga em peças infinitesimais e tratamos cada peça como uma carga pontual.

Nota que, porque a carga é quantizada, não existe uma distribuição de carga “verdadeiramente” contínua. No entanto, na maioria dos casos práticos, a carga total que cria o campo envolve um número tão grande de cargas discretas que podemos seguramente ignorar a natureza discreta da carga e considerá-la como contínua. Este é exactamente o tipo de aproximação que fazemos quando lidamos com um balde de água como um fluido contínuo, em vez de uma colecção de moléculas (H2O).

O nosso primeiro passo é definir uma densidade de carga para uma distribuição de carga ao longo de uma linha, através de uma superfície, ou dentro de um volume, como mostrado na Figura \PageIndex{1}}.

Para uma carga de linha, uma carga de superfície, e uma carga de volume, a soma na definição de um campo eléctrico discutida anteriormente torna-se integral e \(q_i\) é substituída por \(dq = lambda dl), \(\sigma dA\), ou \(rho dV\), respectivamente:

\vec{E}(P) &= {\i} {\i}{4\i}epsilon_0} \int_{line} \esquerda(esquerda(esquerda), dlambda, dl, direita) \etiqueta \\ ivec{E}(P) &= sobbrace{\i}{4\i}{4\i}epsilon_0} \int_{surface} \esquerda(fracracrac{sigma,dA}{r^2}{r^2}direita) que{r} }_{\text{Surface charge}}\label{eq3} \\ ivec{E}(P) &= sobbrace{\i}{4\i}{4\i}epsilon_0} \int_{volume} \esquerda(ffrac{rho,dV}{r^2}{r^2}{r^2}}_esquerda_esquerda_texto{cobra de volume}} \etiqueta \end{align}]

Os integrais em Equações {eq1}-ref{eq4} são generalizações da expressão para o campo de uma carga pontual. Incluem e assumem implicitamente o princípio da sobreposição. O “truque” para utilizá-los é quase sempre encontrar expressões correctas para {dl}, { dA}, ou {dV}, conforme o caso, expressas em termos de r, e também expressando adequadamente a função de densidade de carga. Pode ser constante; pode ser dependente da localização.

Nota cuidadosamente o significado de \(r\) nestas equações: É a distância do elemento de carga (q_i, lambda, dl, dl, sigma, dA, rho, dV)) ao local de interesse, (P(x, y, z)}) (o ponto no espaço onde se pretende determinar o campo). No entanto, não confunda isto com o significado de {r}; estamos a usá-lo e a notação vectorial para escrever três integrais de uma só vez. Ou seja, a equação {eq2} é na realidade

= E_y(P) &= ^dfrac{1}{4}pi ^epsilon_0} \int_{line} \esquerda, dl, dl, dl direita, E_z(P) &= |dfrac{1}{4pi |epsilon_0} \int_{line} \esquerda(ffrac, dlambda, dl, direita)_z, end, alinhar… \P>>div>p>exemplo {1}(PageIndex{1})): Campo Eléctrico de um Segmento de Linha

P>Cobrir o campo eléctrico a uma distância acima do ponto médio de um segmento de linha recta de comprimento que transporta uma densidade de carga de linha uniforme.

Estratégia

P>Porque esta é uma distribuição de carga contínua, partimos conceptualmente o segmento de fio em peças diferenciais de comprimento \(dl\), cada uma das quais transporta uma quantidade diferencial de carga

p>> Em seguida, calculamos o campo diferencial criado por duas peças simetricamente colocadas do fio, utilizando a simetria da configuração para simplificar o cálculo (Figura \PageIndex{2}). Finalmente, integramos esta expressão do campo diferencial ao longo do comprimento do fio (metade dele, na verdade, como explicamos abaixo) para obter a expressão completa do campo eléctrico.

Solução

p>p> Antes de saltarmos para ele, como esperamos que o campo “se pareça” de longe? Uma vez que é um segmento de linha finito, de longe, deve parecer-se com uma carga pontual. Vamos verificar a expressão que obtemos para ver se corresponde a esta expectativa.

O campo eléctrico para uma carga de linha é dado pela expressão geral

>p>

A simetria da situação (a nossa escolha das duas peças diferenciais idênticas de carga) implica o cancelamento dos componentes horizontais (x) do campo, de modo a que o campo líquido aponte na direcção \(z). Vamos verificar isto formalmente.

O campo total {E}(P)} é a soma vectorial dos campos de cada um dos dois elementos de carga (chame-os {E}_1} e {E}_2}, por agora):

&= E_{1x}=hat{i} + E_{1z}}hat{k} + E_{2x} (- que{i}) + E_{2z} que{k}. \Fim{alinhamento*}]

p>Porque os dois elementos de carga são idênticos e estão à mesma distância do ponto em que queremos calcular o campo, { E_{1x} = E_{2x}), por isso esses componentes cancelam. Isto deixa

&= E_1, {\i1}, {\i}cc, {\i}theta {k}hat{\i} + E_2, E_2, E_2, E_2, E_2, E_2, E_2, E_2, E_2, E_2. \end{align*}]

Estes componentes também são iguais, por isso temos

&= ^dfrac{1}{4 ^pi ^epsilon_0}int_0^{L/2} ^dfrac{2=lambda dx}{r^2} \, custos, teta que \{alinhamento*}]

onde o nosso elemento de linha diferencial dl é dx, neste exemplo, uma vez que estamos a integrar ao longo de uma linha de carga que se situa no eixo x. (Os limites de integração são de 0 a {L2}, e não de 0 a {L2} a {2], porque construímos o campo líquido a partir de duas peças de carga diferencial dq]. Se nos integrássemos ao longo de todo o comprimento, detectaríamos um factor errado de 2.)

Em princípio, isto está completo. No entanto, para calcular realmente esta integral, precisamos de eliminar todas as variáveis que não são dadas. Neste caso, tanto as variáveis mudam à medida que nos integramos até ao fim da linha de carga, pelo que estas são as variáveis de que nos devemos livrar. Podemos fazer isso da mesma forma que fizemos para as cargas de dois pontos: notando que

e

>p>>p>Substituting, obtemos

\i>div id&= ^dfrac{1}{4 ^pi ^epsilon_0}int_0^{L/2} ^dfrac{2}{(z^2 + x^2)^{3/2}} dx ^hat{k} \\ {\i1}div id&= {2 lambda z}{4 {\i }epsilon_0} \esquerda_0^{L/2}hat{k}hat{k}. \{alinhamento*}]

o que simplifica a

p>>Significance

Nota, mais uma vez, o uso da simetria para simplificar o problema. Esta é uma estratégia muito comum para o cálculo de campos eléctricos. Os campos de distribuição de cargas não simétricas têm de ser tratados com vários integrais e podem precisar de ser calculados numericamente por um computador.

= {4 \i {\i}epsilon_0} \left_{-\infty}^{\infty} \o que \{alinhamento*}]

o que simplifica a

p>>Significação

A nossa estratégia de trabalho com distribuições de carga contínua também dá resultados úteis para cargas com dimensão infinita.

No caso de uma linha finita de carga, note-se que para { z ^gg L}, ^2} domina o L no denominador, de modo que a Equação {5}ref{5.12} simplifica para

p>>p> Se se lembrar que {\lambda L = q=) a carga total no fio, recuperámos a expressão para o campo de uma carga pontual, como esperado.

No limite {\i1}(L=lambda L = q=) por outro lado, obtemos o campo de um fio recto infinito, que é um fio recto cujo comprimento é muito, muito maior do que qualquer uma das suas outras dimensões, e também muito, muito maior do que a distância a que o campo deve ser calculado:

\\

Um artefacto interessante deste limite infinito é que perdemos a habitual dependência a que estamos habituados \(1/r^2\). Isto tornar-se-á ainda mais intrigante no caso de um plano infinito.

= ^dfrac{1}{4}pi ^epsilon_0} \ffrac{\i1}{(z^2 + R^2)^{3/2}}}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \o que (z) \int_0^{2\pi} dtheta d&=dfrac{1}{4\pi {4\pi ^epsilon_0} \dfrac{2}{(z^2 + R^2)^{3/2}}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \o que (z) \\ {4\i} &= dfrac{1}{4\i }epsilon_0} \^dfrac{q_{tot}z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \que{z}. \{z}]

Significação

Como de costume, a simetria simplificou este problema, neste caso particular resultando num integral trivial. Além disso, quando tomamos o limite de \\(z \gg R\), descobrimos que

como esperamos.

= {4 \i {\i}epsilon_0} (2\pi ^sigma z)esquerda(1}{z} – ^dfrac{1}{1}{sqrt{R^2 + z^2}}direita) {k}hat{k} \P>P>p>ou, mais simplesmente,p>p>>p>P>Significancep>p>Again, pode ser mostrado (através de uma expansão de Taylor) que, quando se reduz ap>p>p>p>p>p>p> que é a expressão para uma carga de ponto { Q = ^2^pi R^2}).

As {R-rightarrow {infty}), Equação Ref{5.14} reduz-se ao campo de um plano infinito, que é uma folha plana cuja área é muito, muito maior do que a sua espessura, e também muito, muito maior do que a distância a que o campo deve ser calculado:

\i>div id&= \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} \o que (k). \rótulo{5.15} \Fim de linha de campo Este resultado surpreendente é, mais uma vez, um artefacto do nosso limite, embora um que faremos uso repetidamente no futuro. Para compreender por que razão isto acontece, imagine ser colocado acima de um plano infinito de carga constante. Será que o avião tem um aspecto diferente se variar a sua altitude? Não, ainda se vê o avião a descolar para o infinito, por muito longe que se esteja dele. É importante notar que a Equação \ref{5.15} é porque estamos acima do avião. Se estivéssemos abaixo, o campo apontaria na direcção {k}(-hat{k}).