Cálculo III – Coordenadas Cilíndricas (Português)

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Secção 1-12 : Coordenadas cilíndricas

As com espaço bidimensional o sistema de coordenadas padrão \(esquerda( {x,y,z} {direita)}) é chamado sistema de coordenadas cartesianas. Nas duas últimas secções deste capítulo, vamos analisar alguns sistemas de coordenadas alternativas para o espaço tridimensional.

Começaremos com o sistema de coordenadas cilíndrico. Este é bastante simples, pois nada mais é do que uma extensão de coordenadas polares em três dimensões. Não só é uma extensão de coordenadas polares, como também o estendemos para a terceira dimensão, tal como estendemos as coordenadas cartesianas para a terceira dimensão. Tudo o que fazemos é acrescentar um {\i1}(z) como a terceira coordenada. O {\i1}(r) e o {\i1}theta} são os mesmos que com as coordenadas polares.

Aqui está um esboço de um ponto em {\i1}(r}mathbb{R}^3}).

Este gráfico tem um sistema padrão de coordenadas 3D. O eixo z positivo é direito para cima, o eixo x positivo desloca-se para a esquerda e ligeiramente para baixo e o eixo y positivo desloca-se para a direita e ligeiramente para baixo. Há um ponto rotulado $\esquerda( x,y,z \direita)=esquerda( r,\theta ,z \direita)$ que parece estar na 1ª octante (i.e. x, y, e z são todos positivos). A partir deste ponto, uma linha tracejada desceu a direito no plano xy- (atingindo-o num ângulo recto) e a linha tracejada é rotulada

As conversões para \(x) e \(y) são as mesmas conversões que utilizámos quando olhávamos para as coordenadas polares. Assim, se tivermos um ponto em coordenadas cilíndricas, as coordenadas cartesianas podem ser encontradas utilizando as seguintes conversões.

\\

A terceira equação é apenas um reconhecimento de que a coordenada \(z)-de um ponto em coordenadas cartesianas e polares é a mesma.

Likewise, se tivermos um ponto em coordenadas cartesianas as coordenadas cilíndricas podem ser encontradas utilizando as seguintes conversões.

\

Vejamos rapidamente algumas superfícies em coordenadas cilíndricas.

Exemplo 1 Identificar a superfície para cada uma das seguintes equações.

  1. \(r = 5\)
  2. \({r^2} + {z^2} = 100\)
  3. \(z = r\)

Mostrar todas as soluções Esconder todas as soluções

a \(r = 5\) Mostrar solução

Em duas dimensões sabemos que se trata de um círculo de raio 5. Uma vez que agora estamos em três dimensões e não há \\(z) na equação, isto significa que é permitido variar livremente. Assim, para qualquer dado, teremos um círculo de raio 5 centrado no eixo {z} -p>> Por outras palavras, teremos um cilindro de raio 5 centrado no eixo {z} -p.

b \\({r^2} + {z^2} = 100\) Mostrar Solução

Esta equação será fácil de identificar uma vez que convertemos de volta para coordenadas cartesianas.

\\

Então, esta é uma esfera centrada na origem com raio 10.

c \(z = r\) Mostrar Solução

Again, esta não será muito má se nos convertermos de volta para cartesianas. Por razões que acabarão por ser aparentes, vamos primeiro esquadrinhar ambos os lados, depois converter.

\

Da secção sobre superfícies quadriculadas sabemos que esta é a equação de um cone.

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