Valor ExactoEditar
Se uma amostra estatisticamente independente de n {\i1}displaystyle n
observações x 1 , x 2 , … , x n {\i1},x_{2},{\i}ldots ,x_{n}}
são retirados de uma população estatística com um desvio-padrão de σ {\i}{\i1}displaystyle x_{\i},x_{\i}ldots ,x_{\i}/div> são retirados de uma população estatística com um desvio-padrão de σ {\i}
, depois o valor médio calculado a partir da amostra x ¯ ¯ ¯bar {\\i}}
terá um erro padrão associado na média σ x ¯ ¯displaystyle {\i}_{\i}_bar {\i}
dado por: σ x ¯ = σ n {\i}displaystyle {\i}_{\i}_bar {\i} ={\i1}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{n}}}}
{\i}displaystyle {\i}_bar”>Praticamente isto diz-nos que ao tentar estimar o valor de uma média populacional, devido ao factor 1 / n {\i1}displaystyle 1/{\i1}{\i1}displaystyle 1/{\i}
, reduzindo o erro na estimativa por um factor de dois requer a aquisição de quatro vezes mais observações na amostra; reduzindo-o por um factor de dez requer cem vezes mais observações.
EstimativaEditar
O desvio padrão σ {\i1}displaystyle {\i}sigma }
da população a ser amostrada raramente é conhecida. Portanto, o erro padrão da média é normalmente estimado substituindo σ {\displaystyle {\displaystyle \sigma }
com o desvio padrão da amostra σ x {\displaystyle \sigma _{{x}}
em vez disso: σ x ¯ ≈ σ x n {\i1}displaystyle {\i}_{\i1}bar {\i}{\i1}approx {\i}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{n}}}}
Como este é apenas um estimador do verdadeiro “erro padrão”, é comum ver aqui outras notações como: σ x ¯ ^ = σ x n {\i}displaystyle {\i}{\i1}widehat {\i}sigma _{\i}bar {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}sqrt
ou alternadamente s x ¯ = s n {\i1} s n {\i1}displaystyle {\i} _{\i} _\i}{\i1}frac {\i}{\i}{\i} sqrt {n}}}}
Ocorre uma fonte comum de confusão quando não se consegue distinguir claramente entre o desvio padrão da população ( σ {\i}displaystyle {\i} {\i}
), o desvio padrão da amostra ( σ x {\displaystyle \sigma _{x}}}
), o desvio padrão da própria média ( σ x ¯ ¯ ¯displaystyle ^sigma _{x}}}
, que é o erro padrão), e o estimador do desvio padrão da média ( σ x ¯ ^ ^ ^displaystyle ^widehat ^sigma _{\i}bar {\i}}}}}
, que é a quantidade mais frequentemente calculada, e é também frequentemente chamada coloquialmente o erro padrão).
Precisão do estimadorEditar
Quando o tamanho da amostra é pequeno, a utilização do desvio padrão da amostra em vez do verdadeiro desvio padrão da população tenderá a subestimar sistematicamente o desvio padrão da população, e portanto também o erro padrão. Com n = 2, a subestimação é de cerca de 25%, mas para n = 6, a subestimação é de apenas 5%. Gurland e Tripathi (1971) fornecem uma correcção e equação para este efeito. Sokal e Rohlf (1981) fornecem uma equação do factor de correcção para pequenas amostras de n < 20. Ver estimativa imparcial do desvio padrão para discussão posterior.
DerivaçãoEditar
O erro padrão na média pode ser derivado da variância de uma soma de variáveis aleatórias independentes, dada a definição de variância e algumas propriedades simples da mesma. Se x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}}
são n {\i1}displaystyle n
observações independentes de uma população com média x ¯ ¯ estilo de jogo ¯bar {x}}
e desvio padrão σ {\i1}displaystyle {\i}sigma
, depois podemos definir o total T = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) {\displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}
que devido à fórmula Bienaymé, terá variância
Var ( T ) = ( Var ( x 1 ) + Var ( x 2 ) + ⋯ + Var ( x n ) ) = n σ 2 . estilo de jogo {\\i1}operatorname {Var} (T)={\i1}(T)={\i1}big (T)={\i1}operatorname {Var} (x_{1})+\i1operatorname {Var} (x_{2})+cdots +\i1.0.0.0.0.0.0.0 (x_{\n}){\big )}=n^^sigma ^{2}.}
p> A média destas medições x ¯ ¯bar {x}}
é simplesmente dado por x ¯ = T / n {\i} {\i}=T/n}
.
A variação da média é então
Var ( T n ) = 1 n 2 Var ( T ) = 1 n 2 n σ 2 = σ 2 n . estilo de jogo Jogo Jogo de Operação \esquerda (esquerda) (direita) = (esquerda) (direita) (1) (n^ (2)) (T)={\frac {1}{n^{2}}n^sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}{n}}.}
O erro padrão é, por definição, o desvio padrão de x ¯ ¯ barra {x}}
que é simplesmente a raiz quadrada da variância: σ x ¯ = σ 2 n = σ n {\displaystyle ^^sigma _{\x}}={\sqrt ^frac ^{\n}}={\frac ^sigma ^sigma ^{\n}}}}
{\i1}displaystyle {\i}sigma _{\i}{\i1}div>>>div> .”>Para variáveis aleatórias correlacionadas, a variância da amostra precisa de ser calculada de acordo com o teorema do limite central da cadeia de Markov.
Variáveis aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica com tamanho de amostra aleatóriaEdit
Existem casos em que uma amostra é colhida sem saber, antecipadamente, quantas observações serão aceitáveis de acordo com algum critério. Nesses casos, o tamanho da amostra N {\displaystyle N}
é uma variável aleatória cuja variação se soma à variação de X {\displaystyle X}
tal que, Var ( T ) = E ( N ) Var ( X ) + Var ( N ) ( E ( X ) ) 2 {\displaystyle {\displaystyle \displaystorname {Var} (T)===operatornorname {E} (N)}operatorname {Var} (X)+\i1operatorname {Var} (N){N){E}big (nome do operador (X){\big )^{2}}}^{2
p> se N {\\i1}displaystyle N
tem uma distribuição Poisson, depois E ( N ) = Var ( N ) {\i1}displaystyle {\i}operatorname {E} (N)===operatornorname {Var} (N)}
com estimador N = n {\\i1}displaystyle N=n
. Daí o estimador do Var ( T ) {\i1}displaystyle {\i}operatorname {\i} (T)}
torna-se n S X 2 + n X ¯ 2 {\i1}^{2}+n{\i1}bar {\i}^{2}}{\i1}displaystyle nS_{X}^{2}+n{\i}bar
, conduzindo a seguinte fórmula para erro padrão: S t a n d a r d E r r o r ( X ¯ ) = S X 2 + X ¯ 2 n {\\i1}displaystyle {\i1}-operatorname {\i1}{\i1}Standard~Error} ({\i1}{\i1}}{\i1}}{\i1}}(X}}}bar {\i}}{n}}}}}}{S_{X}^{2}+{\i}{\i}}{n}}}}
