Guinguette Marais Poitevin

Exemplo

Try que mede o diâmetro de uma bola de ténis usando o bastão do medidor. Qual é a incerteza nesta medição?

P>Even embora o bastão de medição possa ser lido a 0,1 cm mais próximo, provavelmente não se pode determinar o diâmetro a 0,1 cm mais próximo.

• Que factores limitam a sua capacidade de determinar o diâmetro da bola?
• Qual é uma estimativa mais realista da incerteza na sua medição do diâmetro da bola?

Respostas: É difícil alinhar a borda da bola com as marcas na régua e a imagem está desfocada. Embora existam marcas na régua para cada 0,1 cm, apenas as marcas em cada 0,5 cm aparecem claramente. Acho que posso medir com fiabilidade onde a borda da bola de ténis se encontra dentro de cerca de metade de uma destas marcas, ou cerca de 0,2 cm. A extremidade esquerda está a cerca de 50,2 cm e a direita a cerca de 56,5 cm, pelo que o diâmetro da bola é de cerca de 6,3 cm ± 0,2 cm.

Outro exemplo

Try determining the thickness of a CD case from this picture.

• How can you get the most precision measurement of the thickness of a single CD case from this picture? (Mesmo que a régua esteja desfocada, pode determinar a espessura de um único estojo com menos de 0,1 cm.)
• Utilize o método que acabou de descrever para determinar a espessura de um único estojo (e a incerteza nessa medição)
• Que suposições implícitas está a fazer sobre os estojos de CD?

Respostas: A melhor maneira de fazer a medição é medir a espessura da pilha e dividir pelo número de caixas na pilha. Desta forma, a incerteza na medição é distribuída por todos os 36 estojos de CD. É difícil ler a régua na imagem mais perto do que dentro de cerca de 0,2 cm (ver exemplo anterior). A pilha começa na marca de 16,5 cm e termina na marca de 54,5 cm, pelo que a pilha tem cerca de 38,0 cm ± 0,2 cm de comprimento. Dividir o comprimento da pilha pelo número de caixas de CD na pilha (36) para obter a espessura de uma única caixa: 1,056 cm ± 0,006 cm. Ao “espalhar” a incerteza por toda a pilha de caixas, é possível obter uma medição mais precisa do que a que pode ser determinada ao medir apenas uma das caixas com a mesma régua. Estamos a assumir que todos os casos têm a mesma espessura e que não há espaço entre quaisquer dos casos.

estimando a incerteza de múltiplas medições

Uma forma de aumentar a sua confiança nos dados experimentais é repetir a mesma medição muitas vezes. Por exemplo, uma forma de estimar a quantidade de tempo que leva a acontecer algo é simplesmente cronometrá-la uma vez com um cronómetro. Pode diminuir a incerteza nesta estimativa fazendo esta mesma medição várias vezes e tomando a média. Quanto mais medições fizer (desde que não haja problemas com o relógio!), melhor será a sua estimativa.

Fazer múltiplas medições também lhe permite estimar melhor a incerteza nas suas medições, verificando o quão reprodutíveis são as medições. A precisão da sua estimativa do tempo depende da dispersão das medições (muitas vezes medidas utilizando uma estatística chamada desvio padrão) e do número (N) de medições repetidas que fizer.

Consulte o seguinte exemplo: Maria cronometrou o tempo que uma bola de aço leva a cair do topo de uma mesa para o chão utilizando o mesmo cronómetro. Ela obteve os seguintes dados:

0,32 s, 0,54 s, 0,44 s, 0,29 s, 0,48 s

Ao efectuar cinco medições, Maria diminuiu significativamente a incerteza na medição do tempo. Maria também tem uma estimativa grosseira da incerteza nos seus dados; é muito provável que o tempo “verdadeiro” que leva a bola a cair esteja algures entre 0,29 s e 0,54 s. As estatísticas são necessárias para obter uma estimativa mais sofisticada da incerteza.

alguns conceitos estatísticos

Ao lidar com medições repetidas, há três quantidades estatísticas importantes: média (ou média), desvio padrão, e erro padrão. Estes estão resumidos na tabela abaixo:

>Symbol

Statistic	O que é	Interpretação estatística
média	uma estimativa do valor “verdadeiro” da medição	o valor central	xave
desvio padrão	uma medida do “spread” nos dados	Pode ter a certeza razoável (cerca de 70% de certeza) de que se repetir a mesma medida mais uma vez, que a próxima medição estará a menos de um desvio padrão em relação à média.	s
erro padrão	uma estimativa na incerteza da média das medições	Pode ter a certeza razoável (cerca de 70% de certeza) de que se fizer toda a experiência novamente com o mesmo número de repetições, o valor médio da nova experiência estará a menos de um erro padrão de distância do valor médio desta experiência.	SE

Dados de Maria revisitados

As estatísticas para os dados do cronómetro de Maria são dadas abaixo:

• xave = 0,41 s
• s = 0,11 s
• SE = 0,05 s

É bastante claro o que significa a média, mas o que dizem as outras estatísticas sobre os dados de Maria?

• desvio padrão: Se Maria cronometrou a queda do objecto mais uma vez, há uma boa hipótese (cerca de 70%) de que a leitura do cronómetro que ela obterá esteja dentro de um desvio padrão da média. Por outras palavras, a próxima vez que ela medir a hora da queda há cerca de 70% de probabilidade de que a leitura do cronómetro que ela obtém esteja entre (0,41 s – 0,11 s) e (0,41 s + 0,11 s).
• Errograu padrão: Se Maria fez toda a experiência (todas as cinco medições) novamente, há uma boa probabilidade (cerca de 70%) de que a média dessas cinco novas medições se situe dentro de um erro padrão da média. Por outras palavras, da próxima vez que Maria repetir todas as cinco medições, a média que obterá estará entre (0,41 s – 0,05 s) e (0,41 s + 0,05 s).

Calcular as estatísticas usando Excel

Programas de folhas de cálculo (como o Microsoft Excel) podem calcular facilmente as estatísticas. Uma vez que tenha os dados em Excel, pode usar o pacote estatístico incorporado para calcular a média e o desvio padrão.

Para calcular a média das células A4 até A8: Selecione a célula em que quer que a média apareça (D1 neste exemplo) Type “=average(a4:a8)” Pressione a tecla Enter
Para calcular o desvio padrão dos cinco números, utilize a função STDEV integrada no Excel.
O Excel não tem uma função de erro padrão, pelo que é necessário usar a fórmula para erro padrão: onde N é o número de observações

Incerteza nos cálculos

E se quiser determinar a incerteza para uma quantidade que foi calculada a partir de uma ou mais medições? Existem métodos complicados e menos complicados para o fazer. Para este curso, utilizaremos o simples. O método de incerteza de Upper-Lower Bounds nos cálculos não é tão formalmente correcto, mas será o que fará. A ideia básica deste método é utilizar os intervalos de incerteza de cada variável para calcular os valores máximos e mínimos da função. Também se pode pensar neste procedimento como exmining dos melhores e piores cenários. Por exemplo, se quiser encontrar a área de um quadrado e medir um lado como um comprimento de 1,2 +/- 0,2 m e o outro como 1,3 +/- 0,3 metros, então a área seria: