Vemos o significado da derivada, e das suas várias notações, incluindo dy/dx. Isto leva-nos à pergunta seguinte: O que é que dx ou dy significa por si só? Isto foi abordado na última vez, mas há muito mais a dizer que não cabia aí. Vamos olhar para abordagens mais avançadas dos diferenciais em si mesmos, depois para duas perspectivas sobre o que significam em integrais.
Diferenciais como funções
Vamos começar com a página dois referida nas nossas respostas da última vez, que vem de 1998:
DifferentialsI have to reach this conclusion:If you can get the differentials of a function, you can differentiate it, but if you can differentiate it, you can not necessarily get its differentials.Please help.
Como já vimos, os diferenciais podem ser discutidos a partir de várias perspectivas diferentes. Esta questão, sem contexto claro, não indica que tipo de função está em vista, ou que abordagem aos diferenciais está a ser adoptada. O que significa aqui “obter os diferenciais de uma função”? O Doutor Jerry respondeu sugerindo um contexto possível, dando uma definição que é bastante diferente do que vimos até agora, onde os diferenciais eram apenas números infinitesimais:
Hi Maria,The standard definition of the differential of a real-valued function f of a real variable is: At a given point x, the differential df_x (df sub x; usually the x is omitted) of f is the linear function defined on R by: df_x(h) = f'(x) * hEveryday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function. For example, if y = f(x) = x^2, then we write: dy = df = 2x * dxwhere dx is used instead of h. This is for good reason. The finite numbers dy and dx appearing in dy = 2x * dx can be manipulated to obtain: dy/dx = 2xI feel that I haven't replied directly to your question. I think that this is because I don't fully understand your question. Please write again if my answer has not helped.
Esta definição leva o diferencial de uma função a ser ela própria uma função, nomeadamente a função cujo valor é a mudança vertical ao longo da linha tangente para uma dada mudança horizontal (h ou {Delta x} ou dx). Desta forma, não temos de pensar no corante como um número que não é realmente um número (um infinitesimal), no entanto obtemos a acção de multiplicar a derivada por qualquer número dx.
No seu exemplo, o diferencial de \(f(x) = x^2\) a x = 3 é \(df(h) = df_3(h) = f'(3)\cdot h = 6h\). Nesta perspectiva, a forma habitual de escrever o diferencial como se fosse um número é apenas um atalho. Retendo a variável x, poderíamos dizer, por completo, \(df_x(dx) = 2x dx\), ou brevemente, apenas \(dy = 2x dx\). Para uma versão muito ligeiramente diferente desta definição, ver aqui.
Maria pediu mais, dando um pouco mais de contexto, mas ainda não esclarecendo bem a que nível se encontra:
Thanks for your answer. I know that the question is a little bit confusing, and at the beginning I thought it was a problem of the translation from English of the Math books. Your answer helped a little, so I am going to try to rephrase it.What is the difference between finding the derivatives of a function (dy/dx), and finding its differentials (dy, dx)?In the books I've seen they define differentials supposing that f(x) is differentiable.My teacher gave a hint to reach this conclusion: if you can find the differentials of f, then f is differentiable, but if f is differentiable you can't necessarily find its differentials.That is why I can prove this, starting with a function that is differentiable.
Ainda não está claro o que significa “os derivados de uma função”; talvez ela não pretenda um plural.
Doctor Jerry começou a sua resposta repetindo a definição anterior:
Hi Maria,Suppose f(x) = x^2. To find the derivative of f we use the definition of derivative: f'(x) is the limit as h->0 of the quotient f(x+h) - f(x) ------------- hFor this function, f'(x) = 2x.Okay, this much is clear; there is no possible ambiguity.The differential of f at x is defined to be the linear function df, which is defined on all of R by: df(h) = f'(x) * hOften, the notation df(h) is shortened to df or, if y = f(x), then we write dy instead of df. Then the above definition is: dy = f'(x)*dx or dy/dx = f'(x)Unless you are studying differential geometry, in which dx is interpreted slightly differently, dx is not the differential of a function. It is a variable, the same as h.
Vou omitir o resto da resposta, porque penso que a pergunta e o seu contexto nunca foram esclarecidos, pelo que não é clara a resposta que é necessária.
Se quiser aprofundar …
Doctor Jerry mencionou de passagem a geometria diferencial, como um lugar onde os diferenciais são definidos mais profundamente. Só ocasionalmente entrámos nesse território; quero apenas citar a conclusão de uma resposta não arquivada a uma pergunta sobre diferenciais, pelo Doutor Fenton em 2009, caso esteja interessado:
There is also a more sophisticated viewpoint in which what is integrated is not a function f(x), but rather what is called a "differential form". This viewpoint involves a lot of complicated mathematical structure and is more commonly seen in calculus of functions of several variables (see, for example, http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form )but it can also be used in one-dimensional calculus as well (e.g. in David Bressoud's book _Second Year Calculus_).So, the easiest viewpoint is the purely formal one, in which you do useful but basically meaningless computations (du=g'(x)dx which does the bookkeeping), but there is also a more complicated viewpoint in which the computations are not meaningless, but they require you to learn more abstract mathematics. For example, the one-dimensional differential form dx becomes a mapping from intervals on the real line to R, and dx() = b-a ,while the differential form 3x^2dx (to use one of Bressoud's examples) is the mapping which takes the interval to b / b^3 a^3 | 3x^2 dx = --- - --- . / 3 3 aThis becomes the viewpoint used in modern differential geometry.
Diferenciais em notação integral definitiva
Na semana passada falámos sobre o uso de diferenciais dentro de símbolos para a derivada. Vejamos algumas perguntas sobre a sua utilização na integração. Primeiro, temos isto, de 2002:
The Meaning of 'dx' in an IntegralNo matter how many times it's explained to me, and even though I've taken several advanced math courses (diff eq, linear algebra, etc), nobody has ever given me a satisfactory explanation for the meaning of the notation in which an integral has dx appended to the end if x is the variable which we are integrating with respect to. In physics, for example, dx seems to mean a very small amount of x, and then we use it in an integral to integrate whatever physical quantity is being discussed. I just don't understand. Or, when a differential is defined, all of a sudden the dx has a meaning, but then when an integral is being evaluated, the teacher says, "Oh, the dx is just a formality." So, sometimes it's a formality, sometimes a vital concept, sometimes a physical quantity, sometimes a derivative: What is it?
Quando escrevemos \(\int f(x) dx\), lemos como “o integral de f(x) com respeito a x”, não atribuindo nenhum significado a “dx” a não ser dizer-nos qual a variável com que nos preocupamos. (De facto, por vezes a dx pode ser omitida por completo, quando a variável é clara!) Isto não é muito diferente da sua utilização num derivado, onde também significa “no que diz respeito a x”. O que é que significa aqui?
Doctor Jeremiah fez a pergunta, centrando-se na ideia de um integral definido:
Hi Nosson,Think about it this way:An integral gives you the area between the horizontal axis and the curve. Most of the time this is the x axis. y | | --|-- ----|---- f(x) / | \ / | / | -------- | | / | | -----|------- | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is: b / Area = | f(x) dx / a
Esta é uma definição do integral definido, num sentido lato; o que se segue define como pode ser calculado em princípio (e portanto, como é formalmente definido):
But say you didn't want to use an integral to measure the area between the x axis and the curve. Instead you just calculate the average value of the graph between a and b and draw a straight flat line y = avg(x) (the average value of x in that range).Now you have a graph like this: y | | - | - - - | - - f(x) | / | \ / | -----|-----------------------------------|---- avg(x) | / | | - - -|- - - - | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is a rectangle: Area = avg(x) w where w is the width of the sectionThe height is avg(x) and the width is w = b-a or in English, "the width of a slice of the x axis going from a to b."
A sua largura w seria frequentemente chamada \(\Delta x\); veremos isso mais tarde.
But say you need a more accurate area. You could break the graph up into smaller sections and make rectangles out of them. Say you make 4 equal sections: y | | |----|---| |-------|---- f(x) | | | | | | | |--------| | | | | | | | -----|---------| | | | | | | | | | | | | | | | | ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x a bAnd the area is: Area = section 1 + section 2 + section 3 + section 4 = avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) wwhere w is the width of each section. The sections are all the same size, so in this case w=(b-a)/4 or in English, "the width of a thin slice of the x axis or 1/4 of the width from a to b."
Estamos a começar a desenvolver a integral Reimann (embora muitos detalhes sejam necessários para fazer uma definição completa, como por exemplo as larguras não têm de ser realmente as mesmas).
And if we write this with a summation we get: 4 +--- \ Area = / avg(x,n) w +--- n=1But it's still not accurate enough. Let's use an infinite number of sections. Now our area becomes a summation of an infinite number of sections. Since it's an infinite sum, we will use the integral sign instead of the summation sign: / Area = | avg(x) w /where avg(x) for an infinitely thin section will be equal to f(x) in that section, and w will be "the width of an infinitely thin section of the x axis."So instead of avg(x) we can write f(x), because they are the same if the average is taken over an infinitely small width.
Again, muitos detalhes estão a ser omitidos para manter as coisas intuitivas.
And we can rename the w variable to anything we want. The width of a section is the difference between the right side and the left side. The difference between two points is often called the delta of those values. So the difference of two x values (like a and b) would be called delta-x. But that is too long to use in an equation, so when we have an infinitely small delta, it is shortened to dx.If we replace avg(x) and w with these equivalent things: / Area = | f(x) dx /
Assim, como na abordagem infinitesimal à derivada, dx é pensado (informalmente) como uma alteração muito pequena em x.
So what the equation says is:Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are f(x) high and dx wide (where dx is an infinitely small distance).So you need the dx because otherwise you aren't summing up rectangles and your answer wouldn't be total area.dx literally means "an infinitely small width of x".
Isto, claro, aplica-se especificamente à integral definida. Nesta perspectiva, podemos pensar no integral indefinido como herdando a mesma notação através do Teorema Fundamental do Cálculo, que une os dois.
O diferencial não tem de estar no fim!
Uma consequência de ensinar aos alunos que o diferencial num integral significa apenas “… com respeito a x” pode ser vista na pergunta seguinte, de 2003, sobre uma variação relativamente invulgar na notação:
Integral Notation - Missing IntegrandsI have seen some integral notation used that I am not familiar with. It looks like this: / | dx f(x) + .../There does not seem to be an integrand (i.e. a function being integrated). I'm not sure if f(x) is to be integrated. I have two theories, but I can't see the point in writing the expression as it is if either of my theories is correct.My theories about what this might mean:1) The above notation is the same as writing: / | 1 dx f(x) + ... (note the explicit 1 here)/=(x + C) * f(x) + ... (where C is a constant of integration)2) The rest of the expression is to be integrated with respect to x.If (1) is correct, then what was the point of writing the integral - why wasn't (x + C) just written instead? If (2) is correct, then how does one know when to "stop integrating" (i.e. if there is some term to be added on to the expression that is not to be integrated, how is it distinguished?).I have seen this recently in multi-variate calculus, i.e. when x is in R^n rather than R: does this situation justify the use of the integral notation somehow?
A primeira suposição da Cris é que o dx fecha o integral, de modo que o que se segue deve ser multiplicado; a segunda (que está correcta) é que não importa onde o dx é colocado.
Ele está certo de que esta notação é particularmente comum em cálculo com mais de uma variável. Poder-se-ia escrever, por exemplo, $\int_0^b dy\int_0^a dx f(x,y)$ ou $\int_0^b dy\int_0^a f(x,y) dx$ em vez de $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy$ para indicar que devemos integrar primeiro com respeito a x, e depois integrar o resultado com respeito a y. Um benefício é que torna mais fácil ver quais os limites que vão com que variável.
Respondi:
Hi, Chris.It is common to learn about integration in such a way that the "dx" seems to be a marker for the end of the integral, as if the "long S" were a left parenthesis and the "dx" were the right parenthesis. But it doesn't work that way. In fact, what you are integrating is the product of a function and dx; and multiplication is commutative! So these mean the same thing: / / | f(x) dx and | dx f(x) / /If you then add something, you must use parentheses if it is to be part of the integral: / / | dx f(x) + g(x) = + g(x) / /is the sum of an integral and a function, while / / | dx (f(x) + g(x)) = | (f(x) + g(x)) dx / /is the integral of the sum of two functions.That is, presumably the integral has higher precedence than addition, so you "stop integrating" at the first plus sign. But even then, I'm not positive that this rule I just made up is always followed; let me know if you think it doesn't fit the practice in your text, and show me an example.
Ver o diferencial como parte de um produto é necessário para compreender a notação. Isto pode ser feito quer se pense em dx como uma mera notação, para que o “produto” seja tão ilusório como o “quociente” de um derivado, ou se pense explicitamente na soma de Riemann.
Não vejo as minhas ideias sobre parênteses seguidas universalmente; não é invulgar ver \(int x^2-2x+3 dx\) em vez de \(int (x^2-2x+3) dx\). Isto deve-se provavelmente à utilização comum do diferencial para terminar a integrandade, e ao facto de que não faria sentido tomar o dx como associado apenas ao último termo, apesar da ordem habitual de operações. Este laxismo pode transitar para integrais onde o dx é escrito primeiro, embora a ambiguidade seja lá muito maior. Demasiadas vezes, como em alguns outros aspectos da ordem das operações, só se tem de reconhecer o que a interpretação faz sentido no contexto.
Ao escrever isto, ocorreu-me que a minha referência à comutatividade não é totalmente válida, especificamente quando se trata de integrais definitivos. O seguinte não é o mesmo: $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy\ne\int_0^b\int_0^a f(x,y)dy dx$
Isso porque a ordem dos diferenciais determina o significado dos limites de integração. Tudo sobre a notação de cálculo é um pouco escorregadio.
Chris respondeu,
Doctor Peterson,Thank you for your quick and helpful reply.I was indeed taught that integration begins with the "long S" and ends with the (for example) dx.I have, however, seen the following notation: / | dx | ------------ | f(x) + g(x)/and assumed it was a convenient notation rather than being a justifiable mathematical expression.Perhaps I need to go and look at calculus from first principles again to see why this is the case.
Essa é uma notação ao mesmo tempo conveniente e justificável! Mais uma vez, estamos a pensar no dx como sendo multiplicado por uma fracção, e portanto equivalente a parte do numerador.
Um exemplo particularmente bom da utilidade do diferencial num integral indefinido surge no método de substituição, onde podemos substituir o dx por uma expressão que realmente multiplicamos:
Why Does Integration by Substitution Work?
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