O Teorema AAS (Angle-Angle-Side)
A Matemática é uma ciência pura, por isso quase nunca se pára na rua e é desafiado a testar dois triângulos de congruência. No entanto, se fosse, poderia testar os triângulos para a congruência de cinco maneiras. Conhecer o máximo de métodos possível ajuda-o, dando-lhe flexibilidade para lidar com qualquer situação, quer seja detido na rua ou atropelado na sala de aula. Este método é o Angle Angle Side, ou Teorema da AAS.
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Provar triângulos de congruência
Existem cinco métodos para testar a congruência em triângulos, embora um seja restrito para uso com triângulos rectos. Aqui estão todos os cinco:
- Lado Lado Lado — SSS
- Lado Lado Ângulo — SAS
- Lado Ângulo — ASA
- Perna Hypotenuse — HL Reservado para triângulos rectos
- Lado Ângulo Lado — AAS Hey! É esse que estamos a fazer!
Noutras lições ilustrámos os outros métodos, e não, não reorganizámos aleatoriamente “Angle” e “Side” de todas as maneiras em que pudemos pensar. Note, por exemplo, que não se pode encontrar Angle Angle Angle como uma prova de congruência (que é reservada para similaridade), nem se pode cozinhar um postulado Side Side Angle.
Qualquer que seja o termo que se veja ensanduichado entre os outros, essa parte está incluída. Um ângulo ou lado incluído está fisicamente entre os outros no triângulo. Assim, Side Angle Side (SAS) significa um lado, o ângulo junto a esse lado, e depois o lado junto a esse ângulo. Esse lado está lá fora, sozinho, e não entre os ângulos.
Para cada método de teste, está a verificar as três partes identificadas entre os dois triângulos. Se as partes correspondentes forem congruentes para essas três partes, os dois triângulos são congruentes. Estes métodos de teste ou provas permitem-lhe estabelecer a congruência verificando apenas metade das partes (de três lados possíveis e três ângulos possíveis).
AAS Theorem
Seu livro de texto provavelmente chama a isto um teorema, ou pode ser rotulado como um postulado; não se preocupe com isso! Tenha em mente o conceito, não as palavras picuinhas, ao tentar provar a congruência dos triângulos.
AAS Theorem Definition
Nota como diz “lado não incluído”, o que significa que se toma dois ângulos consecutivos e depois se passa para o lado seguinte (em qualquer direcção). Não se toma o lado entre esses dois ângulos! (Se o fizesse, estaria a usar o Postulado ASA).
Para demonstrar com triângulos reais, abaixo apresentamos orgulhosamente △GUM e △RED.
São eles congruentes? Repare nas pequenas marcas de eclosão que indicam todas as congruências, que em taquigrafia matemática utilizam o símbolo ≅.
As partes congruentes são:
- ∠G ≅ ∠R
- ∠M ≅ ∠D
- Lado GU ≅ Lado RE
Sabemos por estes triângulos que dois ângulos interiores são congruentes (e consecutivos, ou um ao lado do outro), mas não sabemos nada sobre o lado entre eles. Em vez disso, aparentemente sem ajuda, aprendemos que um outro lado é congruente.
Atravessando a nossa caixa de ferramentas cheia de métodos de teste de congruência triangular, podemos experimentar cada um deles:
- Lado Lateral (SSS) — Isso não funcionará, porque não conhecemos os três lados
- Lado Lateral Angular (SAS) — Isso também não funcionará, porque conhecemos dois ângulos, e não dois lados
- Angle Side Angle (ASA) — Isto à primeira vista parece promissor, mas o lado que conhecemos não é um lado incluído; ele está a ficar lá fora, passando por um dos dois ângulos conhecidos
- Perna de Hypotenuse (HL) — Esqueça-o! Isto é reservado para triângulos rectos, que não temos
- Angle Angle Side (AAS) — Este é o bilhete! Este é o único que podemos usar!
Porquê o Teorema AAS funciona?
Quick, o que é que os ângulos interiores de todos os triângulos somam?
Esperamos que tenha dito 180°, porque essa é a resposta correcta. Se conhece dois ângulos de um triângulo, então conhece três ângulos de um triângulo. Isso não é magia; é matemática:
Solver para ∠U dá-lhe agora dois ângulos com um lado incluído. Viu isto? Fizemos uma corrida final à volta daquele lado que estava apenas a ficar lá fora, sozinho, e colocámo-lo entre dois ângulos identificados, ∠G e ∠U. Assim, onde uma vez tínhamos AAS, enraizámo-nos à volta do triângulo e transformámo-lo em ASA, que já é um postulado.
Se dois ângulos e o seu lado incluído de um triângulo são todos congruentes com dois ângulos correspondentes e o seu lado incluído de outro triângulo, os dois triângulos são congruentes.
AAS Theorem Example
Aqui oferecemos dois novos triângulos, △LEG e △ARM. Observe todas as pequenas marcas de eclosão indicando ângulos e lados congruentes:
∠L ≅ ∠A
∠E ≅ ∠R
Lado LG ≅ Lado AM
A medida que os ângulos interiores são congruentes, o que mais sabe?
Esperamos que tenha dito que ∠G ≅ ∠M, porque:
- 180° – ∠L – ∠E = ∠G
- 180° – ∠A – ∠R = ∠M
- ∠G ≅ ∠M
O que é que isso lhe permite fazer agora? Implantar ASA e declarar os dois triângulos congruentes, já que:
∠L ≅ ∠A
LG ≅ Lado AM
∠G ≅ ∠M
O que os verdadeiros geómetras fazem
Não tem necessidade de provar a congruência do terceiro ângulo e depois implantar ASA, já que temos, prontos e à espera, o Teorema AAS. Assim, os verdadeiros matemáticos e geómetras saltam directamente para o AAS e declaram os dois triângulos congruentes.
Se tiver de explicar este teorema a outro estudante, amigo, ou estranho aleatório na rua, não pode dar o salto de dois ângulos para o misterioso terceiro ângulo sem alguma explicação. Então poderá ter de explicar como estamos essencialmente a desistir de um dos nossos ângulos originais a favor do terceiro ângulo.
É essa mudança mental, de um determinado ângulo para o novo terceiro ângulo identificado, que lhe permite aproveitar o poder fantástico da ASA e reunir o nosso lado anterior na prova.
Finalmente, depois de percorrer esses passos, atinja-os com a eficiência e o poder ainda mais impressionante do AAS, onde quaisquer dois ângulos e um lado não incluído podem ser utilizados para identificar a congruência entre triângulos. Muito impressionante, não é?
Lesson Summary
Agora de ter mexido nos triângulos e estudado estas notas, é capaz de recordar e aplicar o Teorema do Ângulo de Ângulo (EAS), saber os tempos certos para aplicar o EAS, fazer a ligação entre o EAS e o EAS, e (talvez o mais útil de todos) explicar a outra pessoa como o EAS ajuda a determinar a congruência entre triângulos.
Próxima Lição:
Teorema de AAS