É possível traçar a origem da palavra “ratio” para o grego antigo λόγος (logótipos). Os primeiros tradutores traduziram isto para o latim como ratio (“razão”; como na palavra “racional”). Uma interpretação mais moderna do significado de Euclides é mais parecida com cálculo ou cálculo de contas. Os escritores medievais usavam a palavra proportio (“proporção”) para indicar ratio e proportionalitas (“proporcionalidade”) para a igualdade de ratios.
Euclid recolheu os resultados que apareceram nos Elementos de fontes anteriores. Os pitagóricos desenvolveram uma teoria de ratio e proporção aplicada aos números. A concepção de número dos pitagóricos incluiu apenas aquilo a que hoje se chamaria números racionais, lançando dúvidas sobre a validade da teoria em geometria onde, como os pitagóricos também descobriram, existem rácios incomensuráveis (correspondentes a números irracionais). A descoberta de uma teoria de rácios que não pressupõe comensurabilidade deve-se provavelmente a Eudoxus de Cnidus. A exposição da teoria das proporções que aparece no Livro VII de Os Elementos reflecte a anterior teoria das proporções de comensuráveis.
A existência de múltiplas teorias parece desnecessariamente complexa uma vez que as proporções são, em grande medida, identificadas com quocientes e os seus valores prospectivos. Contudo, este é um desenvolvimento relativamente recente, como se pode ver pelo facto de os livros de geometria moderna ainda utilizarem terminologia e notação distintas para rácios e quocientes. As razões para isto são duas: primeiro, houve a já mencionada relutância em aceitar números irracionais como números verdadeiros, e segundo, a falta de um simbolismo amplamente utilizado para substituir a terminologia já estabelecida de rácios atrasou a aceitação total das fracções como alternativa até ao século XVI.
Definições de EuclidesEditar
Livro V dos Elementos de Euclides tem 18 definições, todas elas relacionadas com rácios. Além disso, Euclid usa ideias que eram de uso tão comum que não incluiu definições para elas. As duas primeiras definições dizem que uma parte de uma quantidade é outra quantidade que a “mede” e, inversamente, um múltiplo de uma quantidade é outra quantidade que mede. Na terminologia moderna, isto significa que um múltiplo de uma quantidade é essa quantidade multiplicada por um inteiro superior a um e uma parte de uma quantidade (que significa parte alíquota) é uma parte que, quando multiplicada por um inteiro superior a um, dá a quantidade.
Euclid não define o termo “medida” como aqui utilizado, No entanto, pode-se inferir que se uma quantidade é tomada como unidade de medida, e uma segunda quantidade é dada como um número integral dessas unidades, então a primeira quantidade mede a segunda. Estas definições são repetidas, quase palavra por palavra, como as definições 3 e 5 no livro VII.
Definição 3 descreve o que é um rácio de uma forma geral. Não é rigorosa num sentido matemático e alguns atribuíram-na aos editores de Euclides em vez do próprio Euclides. Euclid define um rácio entre duas quantidades do mesmo tipo, pelo que por esta definição são definidos os rácios de dois comprimentos ou de duas áreas, mas não o rácio de um comprimento e de uma área. A definição 4 torna isto mais rigoroso. Afirma que existe um rácio de duas quantidades, quando há um múltiplo de cada uma que excede a outra. Na notação moderna, existe uma relação entre as quantidades p e q, se existirem inteiros m e n tais que mp>q e nq>p. Esta condição é conhecida como a propriedade Archimedes.
Definition 5 é a mais complexa e difícil. Define o que significa para dois rácios serem iguais. Hoje em dia, isto pode ser feito simplesmente declarando que os rácios são iguais quando os quocientes dos termos são iguais, mas tal definição não teria significado para Euclides. Na notação moderna, a definição de igualdade de Euclides é a de determinadas quantidades p, q, r e s, p∶q∷r ∶s se e só se, para quaisquer inteiros m e n positivos, np<mq, np=mq, ou np>mq de acordo com nr<ms, nr=ms, ou nr>ms, respectivamente. Esta definição tem afinidades com os cortes Dedekind, uma vez que, com n e q ambos positivos, np representa mq como p/q representa o número racional m/n (dividindo ambos os termos por nq).
Definição 6 diz que as quantidades que têm a mesma relação são proporcionais ou em proporção. Euclid usa o grego ἀναλόγον (analogon), que tem a mesma raiz que λόγος e está relacionado com a palavra inglesa “analog”.
Definição 7 define o que significa uma relação ser menor ou maior que outra e baseia-se nas ideias presentes na definição 5. Na notação moderna diz que determinadas quantidades p, q, r e s, p∶q>r∶s se houver inteiros m e n positivos, de modo que np>mq e nr≤ms.
Como com a definição 3, a definição 8 é considerada por alguns como sendo uma inserção posterior pelos editores de Euclid. Define três termos p, q e r para estar em proporção quando p∶q∷q∶r. Esta definição é alargada a 4 termos p, q, r e s como p∶q∷q∶r∷r∶s, e assim por diante. As sequências que têm a propriedade de que os rácios de termos consecutivos são iguais são chamadas progressões geométricas. As definições 9 e 10 aplicam isto, dizendo que se p, q e r estiverem em proporção então p∶r é a proporção duplicada de p∶q e se p, q, r e s estiverem em proporção então p∶s é a proporção triplicada de p∶q.