Nous avons vu la signification de la dérivée, et de ses différentes notations, notamment dy/dx. Cela nous amène à la question suivante : Que signifie dx ou dy en soi ? Cette question a été abordée la dernière fois, mais il y a beaucoup plus à dire que ce que je n’ai pas pu faire ici. Nous examinerons des approches plus avancées des différentielles en elles-mêmes, puis deux perspectives sur ce qu’elles signifient dans les intégrales.
Différentielles en tant que fonctions
Nous commencerons par la page à laquelle deux d’entre nous se sont référés dans nos réponses la dernière fois, qui date de 1998 :
DifferentialsI have to reach this conclusion:If you can get the differentials of a function, you can differentiate it, but if you can differentiate it, you can not necessarily get its differentials.Please help.
Comme nous l’avons déjà vu, les différentielles peuvent être discutées sous plusieurs angles différents. Cette question, dépourvue de contexte clair, n’indique pas quel type de fonction est en vue, ni quelle approche des différentiels est adoptée. Que signifie ici « obtenir les différentielles d’une fonction » ? Le docteur Jerry répond en suggérant un contexte possible, en donnant une définition bien différente de ce que nous avons vu jusqu’à présent, où les différentielles n’étaient que des nombres infinitésimaux :
Hi Maria,The standard definition of the differential of a real-valued function f of a real variable is: At a given point x, the differential df_x (df sub x; usually the x is omitted) of f is the linear function defined on R by: df_x(h) = f'(x) * hEveryday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function. For example, if y = f(x) = x^2, then we write: dy = df = 2x * dxwhere dx is used instead of h. This is for good reason. The finite numbers dy and dx appearing in dy = 2x * dx can be manipulated to obtain: dy/dx = 2xI feel that I haven't replied directly to your question. I think that this is because I don't fully understand your question. Please write again if my answer has not helped.
Cette définition prend la différentielle d’une fonction pour être elle-même une fonction, à savoir la fonction dont la valeur est le changement vertical \(\Delta y\) le long de la ligne tangente pour un changement horizontal donné (h ou \(\Delta x\) ou dx). De cette façon, nous n’avons pas à penser à dy comme un nombre-qui-n’est-pas-vraiment-un-nombre (un infinitésimal), pourtant nous obtenons l’action de multiplier la dérivée par n’importe quel nombre dx.
Dans son exemple, la différentielle de \(f(x) = x^2\) à x = 3 est \(df(h) = df_3(h) = f'(3)\cdot h = 6h\). De ce point de vue, la façon habituelle d’écrire la différentielle comme s’il s’agissait d’un nombre n’est qu’un raccourci. En conservant la variable x, nous pourrions dire, complètement, \(df_x(dx) = 2x dx\), ou brièvement, juste \(dy = 2x dx\). Pour une version très légèrement différente de cette définition, voir ici.
Maria en a demandé plus, donnant un peu plus de contexte mais ne précisant toujours pas clairement à quel niveau elle se situe :
Thanks for your answer. I know that the question is a little bit confusing, and at the beginning I thought it was a problem of the translation from English of the Math books. Your answer helped a little, so I am going to try to rephrase it.What is the difference between finding the derivatives of a function (dy/dx), and finding its differentials (dy, dx)?In the books I've seen they define differentials supposing that f(x) is differentiable.My teacher gave a hint to reach this conclusion: if you can find the differentials of f, then f is differentiable, but if f is differentiable you can't necessarily find its differentials.That is why I can prove this, starting with a function that is differentiable.
On ne sait toujours pas ce que signifie « les dérivées d’une fonction » ; peut-être n’entend-elle pas un pluriel.
Docteur Jerry a commencé sa réponse en reprenant la définition précédente :
Hi Maria,Suppose f(x) = x^2. To find the derivative of f we use the definition of derivative: f'(x) is the limit as h->0 of the quotient f(x+h) - f(x) ------------- hFor this function, f'(x) = 2x.Okay, this much is clear; there is no possible ambiguity.The differential of f at x is defined to be the linear function df, which is defined on all of R by: df(h) = f'(x) * hOften, the notation df(h) is shortened to df or, if y = f(x), then we write dy instead of df. Then the above definition is: dy = f'(x)*dx or dy/dx = f'(x)Unless you are studying differential geometry, in which dx is interpreted slightly differently, dx is not the differential of a function. It is a variable, the same as h.
Je vais omettre le reste de la réponse, car je ne pense pas que la question et son contexte aient jamais été clarifiés, donc on ne sait pas quelle réponse est nécessaire.
Si vous voulez creuser plus profondément …
Le docteur Jerry a mentionné la géométrie différentielle en passant, comme un endroit où les différentielles sont définies plus profondément. Nous ne sommes allés qu’occasionnellement sur ce territoire ; je veux juste citer la conclusion d’une réponse non archivée à une question sur les différentielles, par le docteur Fenton en 2009, au cas où cela vous intéresserait :
There is also a more sophisticated viewpoint in which what is integrated is not a function f(x), but rather what is called a "differential form". This viewpoint involves a lot of complicated mathematical structure and is more commonly seen in calculus of functions of several variables (see, for example, http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form )but it can also be used in one-dimensional calculus as well (e.g. in David Bressoud's book _Second Year Calculus_).So, the easiest viewpoint is the purely formal one, in which you do useful but basically meaningless computations (du=g'(x)dx which does the bookkeeping), but there is also a more complicated viewpoint in which the computations are not meaningless, but they require you to learn more abstract mathematics. For example, the one-dimensional differential form dx becomes a mapping from intervals on the real line to R, and dx() = b-a ,while the differential form 3x^2dx (to use one of Bressoud's examples) is the mapping which takes the interval to b / b^3 a^3 | 3x^2 dx = --- - --- . / 3 3 aThis becomes the viewpoint used in modern differential geometry.
Différentielles dans la notation de l’intégrale définie
La semaine dernière, nous avons parlé de l’utilisation des différentielles dans les symboles de la dérivée. Regardons quelques questions sur leur utilisation dans l’intégration. Tout d’abord, nous avons ceci, de 2002:
The Meaning of 'dx' in an IntegralNo matter how many times it's explained to me, and even though I've taken several advanced math courses (diff eq, linear algebra, etc), nobody has ever given me a satisfactory explanation for the meaning of the notation in which an integral has dx appended to the end if x is the variable which we are integrating with respect to. In physics, for example, dx seems to mean a very small amount of x, and then we use it in an integral to integrate whatever physical quantity is being discussed. I just don't understand. Or, when a differential is defined, all of a sudden the dx has a meaning, but then when an integral is being evaluated, the teacher says, "Oh, the dx is just a formality." So, sometimes it's a formality, sometimes a vital concept, sometimes a physical quantity, sometimes a derivative: What is it?
Lorsque nous écrivons \(\int f(x) dx\), nous le lisons comme « l’intégrale de f(x) par rapport à x, » n’attribuant aucune signification à « dx » autre que de nous dire de quelle variable nous nous soucions. (En fait, parfois, le dx peut tout simplement être omis entièrement, lorsque la variable est claire !). Cela n’est pas très différent de son utilisation dans une dérivée, où il signifie également « par rapport à x ». Que signifie-t-il ici ?
Le docteur Jeremiah a répondu à la question, en se concentrant sur l’idée d’une intégrale définie :
Hi Nosson,Think about it this way:An integral gives you the area between the horizontal axis and the curve. Most of the time this is the x axis. y | | --|-- ----|---- f(x) / | \ / | / | -------- | | / | | -----|------- | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is: b / Area = | f(x) dx / a
Il s’agit d’une définition de l’intégrale définie, au sens large ; ce qui suit définit comment elle peut être calculée en principe (et donc, comment elle est définie formellement) :
But say you didn't want to use an integral to measure the area between the x axis and the curve. Instead you just calculate the average value of the graph between a and b and draw a straight flat line y = avg(x) (the average value of x in that range).Now you have a graph like this: y | | - | - - - | - - f(x) | / | \ / | -----|-----------------------------------|---- avg(x) | / | | - - -|- - - - | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is a rectangle: Area = avg(x) w where w is the width of the sectionThe height is avg(x) and the width is w = b-a or in English, "the width of a slice of the x axis going from a to b."
Sa largeur w serait souvent appelée \(\Delta x\) ; nous verrons cela plus tard.
But say you need a more accurate area. You could break the graph up into smaller sections and make rectangles out of them. Say you make 4 equal sections: y | | |----|---| |-------|---- f(x) | | | | | | | |--------| | | | | | | | -----|---------| | | | | | | | | | | | | | | | | ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x a bAnd the area is: Area = section 1 + section 2 + section 3 + section 4 = avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) wwhere w is the width of each section. The sections are all the same size, so in this case w=(b-a)/4 or in English, "the width of a thin slice of the x axis or 1/4 of the width from a to b."
Nous commençons à développer l’intégrale de Reimann (bien que de nombreux détails soient nécessaires pour faire une définition complète, car par exemple les largeurs ne doivent pas vraiment être les mêmes).
And if we write this with a summation we get: 4 +--- \ Area = / avg(x,n) w +--- n=1But it's still not accurate enough. Let's use an infinite number of sections. Now our area becomes a summation of an infinite number of sections. Since it's an infinite sum, we will use the integral sign instead of the summation sign: / Area = | avg(x) w /where avg(x) for an infinitely thin section will be equal to f(x) in that section, and w will be "the width of an infinitely thin section of the x axis."So instead of avg(x) we can write f(x), because they are the same if the average is taken over an infinitely small width.
Encore, beaucoup de détails sont omis pour que les choses restent intuitives.
And we can rename the w variable to anything we want. The width of a section is the difference between the right side and the left side. The difference between two points is often called the delta of those values. So the difference of two x values (like a and b) would be called delta-x. But that is too long to use in an equation, so when we have an infinitely small delta, it is shortened to dx.If we replace avg(x) and w with these equivalent things: / Area = | f(x) dx /
Donc, comme dans l’approche infinitésimale de la dérivée, dx est considéré (de manière informelle) comme une très petite variation de x.
So what the equation says is:Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are f(x) high and dx wide (where dx is an infinitely small distance).So you need the dx because otherwise you aren't summing up rectangles and your answer wouldn't be total area.dx literally means "an infinitely small width of x".
Cela s’applique bien sûr spécifiquement à l’intégrale définie. De ce point de vue, on peut penser que l’intégrale indéfinie hérite de la même notation via le théorème fondamental du calcul, qui lie les deux.
La différentielle n’a pas besoin d’être à la fin !
Une conséquence de l’enseignement aux étudiants que la différentielle dans une intégrale signifie seulement « … par rapport à x » peut être vue dans la question suivante, de 2003, à propos d’une variation relativement inhabituelle de la notation:
Integral Notation - Missing IntegrandsI have seen some integral notation used that I am not familiar with. It looks like this: / | dx f(x) + .../There does not seem to be an integrand (i.e. a function being integrated). I'm not sure if f(x) is to be integrated. I have two theories, but I can't see the point in writing the expression as it is if either of my theories is correct.My theories about what this might mean:1) The above notation is the same as writing: / | 1 dx f(x) + ... (note the explicit 1 here)/=(x + C) * f(x) + ... (where C is a constant of integration)2) The rest of the expression is to be integrated with respect to x.If (1) is correct, then what was the point of writing the integral - why wasn't (x + C) just written instead? If (2) is correct, then how does one know when to "stop integrating" (i.e. if there is some term to be added on to the expression that is not to be integrated, how is it distinguished?).I have seen this recently in multi-variate calculus, i.e. when x is in R^n rather than R: does this situation justify the use of the integral notation somehow?
La première supposition de Chris est que le dx ferme l’intégrale, de sorte que ce qui suit doit être multiplié ; la seconde (qui est correcte) est que l’endroit où est placé le dx n’a pas d’importance.
Il a raison de dire que cette notation est particulièrement courante en calcul avec plus d’une variable. On peut écrire, par exemple, $\int_0^b dy\int_0^a dx f(x,y)$ ou $\int_0^b dy\int_0^a f(x,y) dx$ plutôt que $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy$ pour indiquer que l’on doit intégrer d’abord par rapport à x, puis intégrer le résultat par rapport à y. Un avantage est que cela permet de voir plus facilement quelles limites vont avec quelle variable.
J’ai répondu:
Hi, Chris.It is common to learn about integration in such a way that the "dx" seems to be a marker for the end of the integral, as if the "long S" were a left parenthesis and the "dx" were the right parenthesis. But it doesn't work that way. In fact, what you are integrating is the product of a function and dx; and multiplication is commutative! So these mean the same thing: / / | f(x) dx and | dx f(x) / /If you then add something, you must use parentheses if it is to be part of the integral: / / | dx f(x) + g(x) = + g(x) / /is the sum of an integral and a function, while / / | dx (f(x) + g(x)) = | (f(x) + g(x)) dx / /is the integral of the sum of two functions.That is, presumably the integral has higher precedence than addition, so you "stop integrating" at the first plus sign. But even then, I'm not positive that this rule I just made up is always followed; let me know if you think it doesn't fit the practice in your text, and show me an example.
Voir la différentielle comme faisant partie d’un produit est nécessaire pour comprendre la notation. Cela peut se faire que l’on considère dx comme une simple notation, de sorte que le « produit » est aussi illusoire que le « quotient » dans une dérivée, ou que l’on pense explicitement à la somme de Riemann.
Je ne vois pas mes idées sur les parenthèses suivies universellement ; il n’est pas rare de voir \(\int x^2-2x+3 dx\) plutôt que \(\int (x^2-2x+3) dx\). Cela est probablement dû à l’utilisation courante de la différentielle pour terminer l’intégrande, et au fait qu’il serait dénué de sens de prendre la dx comme associée uniquement au dernier terme, malgré l’ordre habituel des opérations. Ce laxisme peut s’étendre aux intégrales où dx s’écrit en premier, bien que l’ambiguïté soit alors beaucoup plus grande. Trop souvent, comme dans certains autres aspects de l’ordre des opérations, il faut finalement juste reconnaître quelle interprétation fait sens dans le contexte.
En écrivant cela, il m’est apparu que ma référence à la commutativité n’est pas tout à fait valable, spécifiquement lorsqu’il s’agit d’intégrales définies. Les suivantes ne sont pas les mêmes : $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy\ne\int_0^b\int_0^a f(x,y)dy dx$
C’est parce que l’ordre des différentielles détermine la signification des limites d’intégration. Tout ce qui concerne la notation du calcul est un peu glissant.
Chris a répondu,
Doctor Peterson,Thank you for your quick and helpful reply.I was indeed taught that integration begins with the "long S" and ends with the (for example) dx.I have, however, seen the following notation: / | dx | ------------ | f(x) + g(x)/and assumed it was a convenient notation rather than being a justifiable mathematical expression.Perhaps I need to go and look at calculus from first principles again to see why this is the case.
C’est à la fois une notation pratique et justifiable ! Encore une fois, nous pensons à la dx comme étant multipliée par une fraction, et donc équivalente à une partie du numérateur.
Un exemple particulièrement bon de l’utilité de la différentielle dans une intégrale indéfinie se présente dans la méthode de substitution, où l’on peut remplacer la dx par une expression que l’on multiplie réellement :
Why Does Integration by Substitution Work?
J’ai regardé cette page dans le billet Intégration par substitution.
La méthode de substitution est une méthode qui permet de remplacer la dx par une expression que l’on multiplie réellement.