Considérons l’état de contrainte bidimensionnel où les contraintes sont σx, σy et τxy.Nous avons, pour un autre ensemble d’axes orthogonaux x’-y’ faisant un angle θ avec x-y, les contraintes sont
σ x ′ = σ x + σ y 2 + σ x – σ y 2 cos 2 θ + τ sin 2 θ {\displaystyle \sigma _{x’}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}+{\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta +\tau \sin 2\theta }
τ x ′ y ′ = – σ x – σ y 2 sin 2 θ + τ x y cos 2 θ {\displaystyle \tau _{x’y’}=-{\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }
D’après les équations ci-dessus, nous pouvons voir que pour tout état de contrainte donné par σx, σy, et τxy, nous pouvons trouver une valeur de θ telle que la valeur de σx’ soit maximale.Cette valeur est appelée la contrainte principale σ1 (pour le maximum) ou σ2 (pour le minimum).
Les contraintes principales sont données par
σ 1 , 2 = σ x + σ y 2 ± ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \sigma _{1,2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
et la contrainte de cisaillement maximale est donnée par
τmax = (σ1 – σ2)/2
D’après les définitions de σx’ et τx’y’, nous avons
( σ x ′ – σ x + σ y 2 ) 2 + τ x ′ y ′ 2 = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \left(\sigma _{x’}-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}\right)^{2}+\tau _{x’y’}^{2}=\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}
Dans le graphe σ-τ, c’est un cercle dont le centre est sur l’axe des x, et la distance du centre à l’origine est donnée par (σx + σy)/2 et un rayon donné par
R = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle R={\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
Ce cercle est connu sous le nom de cercle de Mohr, et est utile pour visualiser l’état de contrainte en un point.
La figure ci-dessus montre le cercle de Mohr pour un état de contrainte (σ, τ).Le centre et le rayon du cercle sont obtenus à partir des équations énoncées ci-dessus.L’autre contrainte σy peut être lue par le point diamétralement opposé au point (σ, τ).La contrainte à tout plan peut être trouvée en utilisant des constructions géométriques simples.
Cercle de Mohr pour les cas courantsEdit
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