von M. Bourne
Wir haben Flächen unter Kurven schon früher im Abschnitt Integration kennengelernt (siehe 3. Fläche unter einer Kurve), aber hier entwickeln wir das Konzept weiter. (Vielleicht interessiert Sie auch Archimedes und der Flächeninhalt eines Parabelsegments, wo wir lernen, dass Archimedes die Ideen hinter der Infinitesimalrechnung verstand, 2000 Jahre vor Newton und Leibniz!)
Es ist wichtig, die Situation zu skizzieren, bevor Sie beginnen.
Wir möchten die Fläche unter der Kurve `y = f(x)` von `x = a` bis `x = b` finden.
Wir können mehrere Situationen haben:
Fall 1: Kurven, die vollständig über der x-Achse liegen.
Die Kurve y = f(x), die vollständig über der x-Achse liegt. Sie zeigt ein „typisches“ Rechteck, Δx breit und y hoch.
In diesem Fall finden wir den Flächeninhalt, indem wir einfach das Integral bestimmen:
`“Fläche“=int_a^bf(x)dx`
Woher stammt diese Formel?
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Video-Minivorlesungen
Für etwas Hintergrund:
Integrations-Minivorlesung
Unterschied zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen
Integration durch Substitution
Fläche unter einer Kurve aus ersten Prinzipien
In der obigen Abbildung ist ein „typisches Rechteck“ mit der Breite `Δx` und der Höhe `y` dargestellt. Sein Flächeninhalt ist `yΔx`.
Wenn wir alle diese typischen Rechtecke addieren, beginnend bei `a` und endend bei `b`, ist die Fläche ungefähr:
`sum_{x=a}^\b(y)Deltax`
Wenn wir nun `Δx → 0` lassen, können wir den genauen Flächeninhalt durch Integration finden:
`“Fläche“=int_a^bf(x)dx`
Dies folgt aus den Riemann-Summen, aus dem Kapitel Einführung in die Integration.
Beispiel für Fall 1
Brauchen Sie Millimeterpapier?
Finden Sie die Fläche unterhalb der Kurve `y = x^2+ 2` von `x = 1` bis `x = 2`.
Antwort
Die Kurve y = x2 + 2 zeigt den Bereich unter der Kurve von x = 1 bis x = 2.
`text = int_a^b f(x) dx`
`=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2`
`=`
`=13/3\ text^2`
Fall 2: Kurven, die vollständig unterhalb der x-Achse liegen
Wir betrachten den Fall, dass die Kurve für den betrachteten Bereich von `x`-Werten unterhalb der `x`-Achse liegt.
In diesem Fall liefert das Integral eine negative Zahl. Wir müssen den Absolutwert davon nehmen, um unsere Fläche zu finden:
`“Fläche“=|int_a^bf(x)dx|`
Beispiel für Fall 2
Bestimmen Sie die Fläche, die von `y = x^2 – 4` begrenzt wird, die `x`-Achse und die Geraden `x = -1` und `x = 2`.
Antwort
Die Kurve y = x2 – 4 zeigt den Teil unter der Kurve von x = -1 bis x = 2.
Die gesuchte Fläche liegt in diesem Beispiel vollständig unter der `x`-Achse, so dass wir Absolutwertzeichen verwenden müssen.
`Text = |int_a^bf(x) dx|`
`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|`
`=||`
`=|-9|`
`=9\ text^2`
Fall 3: Ein Teil der Kurve liegt unterhalb der x-Achse, ein Teil liegt oberhalb der x-Achse
In diesem Fall müssen wir die einzelnen Teile summieren, wobei wir den Absolutwert für den Abschnitt nehmen, in dem die Kurve unterhalb der `x`-Achse liegt (von `x = a` bis `x = c`).
`“Fläche“=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
Wenn wir das nicht so machen, wird die „negative“ Fläche (der Teil unterhalb der `x`-Achse) vom „positiven“ Teil subtrahiert, und unsere Gesamtfläche wird nicht korrekt sein.
Beispiel für Fall 3
Wie groß ist die Fläche, die von der Kurve `y = x^3`, `x = -2` und `x = 1` begrenzt wird?
Antwort
Die Kurve y = x3, die den Teil unter der Kurve von x = -2 bis x = 1 zeigt.
Aus dem Graphen können wir erkennen, dass der Abschnitt zwischen `x = -2` und `x = 0` unterhalb der x-Achse liegt, also müssen wir den Absolutwert für diesen Abschnitt nehmen.
`text= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`
`=|_-2^0|+_0^1`
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`=4+1/4`
`=4.25\ text^2`
Tun Sie es nicht so!
Wenn Sie einfach blind das Integral von der unteren Grenze zur oberen Grenze finden, erhalten Sie in solchen Fällen nicht den tatsächlichen Flächeninhalt.
`Text= int_(-2)^1x^3 dx`
`=_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3.25`
Dies ist nicht die richtige Antwort für die Fläche unter der Kurve. Es ist der Wert des Integrals, aber offensichtlich kann eine Fläche nicht negativ sein.
Es ist immer am besten, die Kurve zu skizzieren, bevor man Flächen unter Kurven findet.
Zusammenfassung (bisher)
In jedem der Fälle 1, 2 und 3 summieren wir die Elemente von links nach rechts, und zwar so:
Wir finden (effektiv) den Flächeninhalt, indem wir die Flächeninhalte der Rechtecke mit den Breiten `dx` und den Höhen `y` horizontal addieren (die wir durch Einsetzen der Werte von `x` in `f(x)` finden).
So
`A=int_a^bf(x)dx`
(mit Absolutwertzeichen, wenn die Kurve unter der `x`-Achse verläuft).
Fall 4: Bestimmte Kurven sind viel einfacher vertikal zu summieren
In manchen Fällen ist es einfacher, den Flächeninhalt zu finden, wenn man vertikal summiert. Manchmal ist die einzige Möglichkeit, vertikal zu summieren.
In diesem Fall finden wir, dass der Flächeninhalt die Summe der Rechtecke mit der Höhe `x = f(y)` und der Breite `dy` ist.
Wenn wir `y = f(x)` gegeben bekommen, dann müssen wir dies als `x = f(y)` umschreiben und von unten nach oben summieren.
Im Fall 4 haben wir also:
`A=int_c^df(y)dy`
Beispiel für Fall 4
Bestimmen Sie die Fläche des Bereichs, der von der Kurve `y=sqrt(x-1)` begrenzt wird, die `y`-Achse und die Geraden `y = 1` und `y = 5`.
Antwort
Skizzieren Sie zunächst:
Die Kurve x = y2 + 1, zeigt den Teil „unter“ der Kurve von y = 1 bis y = 5.
In diesem Fall drücken wir x als eine Funktion von y aus:
`y=sqrt{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1`
Die Fläche ist also gegeben durch:
`A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3\ text`
Hinweis: Für dieses spezielle Beispiel hätten wir auch horizontal summieren können (Integration von `y` und Verwendung von `dx`), aber wir müssten es zuerst in Abschnitte aufteilen.
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