Die Bayes’sche Analyse, eine Methode der statistischen Inferenz (benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes), die es erlaubt, Prioritätsinformationen über einen Populationsparameter mit Informationen aus einer Stichprobe zu kombinieren, um den statistischen Inferenzprozess zu steuern. Zuerst wird eine priorisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen interessierenden Parameter festgelegt. Die Evidenz wird dann erhalten und durch eine Anwendung des Bayes’schen Theorems kombiniert, um eine posteriore Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Parameter zu erhalten. Die Posterior-Verteilung bildet die Grundlage für statistische Rückschlüsse auf den Parameter.
Diese Methode der statistischen Inferenz kann mathematisch wie folgt beschrieben werden. Wenn ein Wissenschaftler in einem bestimmten Stadium einer Untersuchung der Hypothese H eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Pr(H) zuordnet – nennen wir dies die Prioritätswahrscheinlichkeit von H – und den erhaltenen Beweisen E Wahrscheinlichkeiten unter der Bedingung der Wahrheit von H PrH(E) und unter der Bedingung der Falschheit von H Pr-H(E) zuordnet, gibt das Bayes’sche Theorem einen Wert für die Wahrscheinlichkeit der Hypothese H unter der Bedingung der Beweise E durch die FormelPrE(H) = Pr(H)PrH(E)/.
Eine der attraktiven Eigenschaften dieses Bestätigungsansatzes ist, dass, wenn die Beweise sehr unwahrscheinlich wären, wenn die Hypothese falsch wäre – d. h. wenn Pr-H(E) extrem klein ist -, es leicht zu sehen ist, wie eine Hypothese mit einer ziemlich niedrigen Vorwahrscheinlichkeit eine Wahrscheinlichkeit nahe bei 1 erhalten kann, wenn die Beweise eintreffen. (Dies gilt selbst dann, wenn Pr(H) recht klein und Pr(-H), die Wahrscheinlichkeit, dass H falsch ist, entsprechend groß ist; wenn E deduktiv aus H folgt, wird PrH(E) 1 sein; wenn also Pr-H(E) winzig ist, wird der Zähler der rechten Seite der Formel sehr nahe am Nenner liegen, und der Wert der rechten Seite nähert sich somit 1.)
Ein wichtiges und etwas umstrittenes Merkmal der Bayes’schen Methoden ist der Begriff einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Populationsparameter. Nach der klassischen Statistik sind Parameter Konstanten und können nicht als Zufallsvariablen dargestellt werden. Befürworter der Bayes’schen Methode argumentieren, dass es sinnvoll ist, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu spezifizieren, die die möglichen Werte für den Parameter sowie deren Wahrscheinlichkeit beschreibt, wenn ein Parameterwert unbekannt ist. Der Bayes’sche Ansatz erlaubt die Verwendung von objektiven Daten oder subjektiven Meinungen bei der Spezifikation einer Prioritätsverteilung. Mit dem Bayes’schen Ansatz können verschiedene Individuen unterschiedliche Prioritätsverteilungen spezifizieren. Klassische Statistiker argumentieren, dass Bayes’sche Methoden aus diesem Grund unter einem Mangel an Objektivität leiden. Befürworter der Bayes’schen Methode argumentieren, dass die klassischen Methoden der statistischen Inferenz eine eingebaute Subjektivität haben (durch die Wahl eines Stichprobenplans) und dass der Vorteil des Bayes’schen Ansatzes darin besteht, dass die Subjektivität explizit gemacht wird.
Bayes’sche Methoden wurden in der statistischen Entscheidungstheorie (siehe Statistik: Entscheidungsanalyse) ausgiebig verwendet. In diesem Zusammenhang stellt das Bayes’sche Theorem einen Mechanismus zur Verfügung, um eine priorisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zustände der Natur mit Stichprobeninformationen zu kombinieren, um eine revidierte (posteriore) Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zustände der Natur zu erhalten. Diese posterioren Wahrscheinlichkeiten werden dann verwendet, um bessere Entscheidungen zu treffen.