Der AAS (Winkel-Winkel-Seiten)-Satz
Mathematik ist eine reine Wissenschaft, daher wird man auf der Straße fast nie angehalten und aufgefordert, zwei Dreiecke auf Kongruenz zu prüfen. Wenn Sie es aber täten, könnten Sie Dreiecke auf fünf Arten auf Kongruenz prüfen. So viele Methoden wie möglich zu kennen, hilft Ihnen und gibt Ihnen die Flexibilität, mit jeder Situation umzugehen, egal ob Sie auf der Straße angehalten werden oder im Klassenzimmer nicht weiterwissen. Diese Methode ist der Winkel-Winkel-Seiten-Satz oder AAS-Theorem.
- AAS-Theorem Definition
Kongruenznachweis für Dreiecke
Es gibt fünf Methoden, um die Kongruenz von Dreiecken zu prüfen, wobei eine davon nur für rechtwinklige Dreiecke anwendbar ist. Hier sind alle fünf:
- Side Side Side — SSS
- Side Angle Side — SAS
- Angle Side Angle — ASA
- Hypotenuse Leg — HL Reserviert für rechte Dreiecke
- Angle Angle Side — AAS Hey! Das ist die, bei der wir sind!
In anderen Lektionen haben wir die anderen Methoden veranschaulicht, und nein, wir haben nicht einfach wahllos „Winkel“ und „Seite“ auf so viele Arten angeordnet, wie uns einfielen. Beachten Sie zum Beispiel, dass Sie weder einen Winkel-Winkel-Winkel als Kongruenzbeweis finden können (das ist der Ähnlichkeit vorbehalten), noch können Sie ein Seite-Seite-Winkel-Postulat aushecken.
Welchen Begriff Sie auch immer zwischen den anderen sehen, dieser Teil ist eingeschlossen. Ein eingeschlossener Winkel oder eine eingeschlossene Seite befindet sich physikalisch zwischen den anderen im Dreieck. Side Angle Side (SAS) bedeutet also eine Seite, den Winkel neben dieser Seite, und dann die Seite neben diesem Winkel. Diese Seite ist draußen, ganz allein, nicht zwischen den Winkeln.
Bei jeder Prüfmethode prüfen Sie die drei identifizierten Teile zwischen den beiden Dreiecken. Wenn die entsprechenden Teile für diese drei Teile kongruent sind, sind die beiden Dreiecke kongruent. Mit diesen Prüfmethoden oder Beweisen können Sie die Kongruenz feststellen, indem Sie nur die Hälfte der Teile prüfen (von drei möglichen Seiten und drei möglichen Winkeln).
AAS-Theorem
Ihr Lehrbuch nennt dies wahrscheinlich ein Theorem, oder es wird als Postulat bezeichnet; machen Sie sich keine Gedanken darüber! Behalten Sie das Konzept im Kopf, nicht die umständlichen Worte, wenn Sie versuchen, Dreiecke als kongruent zu beweisen.
AAS-Satz Definition
Beachten Sie, dass hier „nicht eingeschlossene Seite“ steht, d.h. Sie nehmen zwei aufeinanderfolgende Winkel und gehen dann zur nächsten Seite über (in jeder Richtung). Sie nehmen nicht die Seite zwischen diesen beiden Winkeln! (Wenn Sie das täten, würden Sie das ASA-Postulat anwenden).
Um es mit tatsächlichen Dreiecken zu demonstrieren, präsentieren wir unten stolz △GUM und △RED.
Sind sie kongruent? Beachten Sie die kleinen Schraffuren, die alle Kongruenzen anzeigen, was in der mathematischen Kurzschrift das Symbol ≅ verwendet.
Die kongruenten Teile sind:
- ∠G ≅ ∠R
- ∠M ≅ ∠D
- Seite GU ≅ Seite RE
Wir wissen von diesen Dreiecken, dass zwei Innenwinkel kongruent (und aufeinanderfolgend, oder nebeneinander) sind, aber wir wissen nichts über die Seite zwischen ihnen. Stattdessen erfahren wir, scheinbar wenig hilfreich, dass eine andere Seite kongruent ist.
Wir können unseren Werkzeugkasten voller Methoden zur Prüfung der Dreieckskongruenz durchgehen und alle ausprobieren:
- Side Side Side (SSS) — Das wird nicht funktionieren, weil wir nicht alle drei Seiten kennen
- Side Angle Side (SAS) — Das wird auch nicht funktionieren, weil wir zwei Winkel kennen, nicht zwei Seiten
- Angle Side Angle (ASA) — Das sieht zunächst vielversprechend aus, aber die Seite, die wir kennen, ist keine eingeschlossene Seite; sie ragt an einem der beiden bekannten Winkel vorbei
- Hypotenusenschenkel (HL) — Vergessen Sie es! Das ist für rechtwinklige Dreiecke reserviert, die wir nicht haben
- Winkelseite (AAS) — Das ist die Eintrittskarte! Das ist die eine (die einzige), die wir verwenden können!
Warum funktioniert der AAS-Satz?
Schnell, was ergibt die Summe der Innenwinkel aller Dreiecke?
Wir hoffen, Sie haben 180° gesagt, denn das ist die richtige Antwort. Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks kennst, dann kennst du auch drei Winkel eines Dreiecks. Das ist keine Magie, sondern Mathematik:
Das Lösen von ∠U gibt dir jetzt zwei Winkel mit einer eingeschlossenen Seite. Haben Sie das gesehen? Wir haben die Seite, die dort ganz allein herausragt, umgangen und sie zwischen zwei identifizierte Winkel, ∠G und ∠U, gelegt. Also, wo wir einmal AAS hatten, sind wir um das Dreieck herumgelaufen und haben es in ASA verwandelt, was bereits ein Postulat ist.
Wenn zwei Winkel und ihre eingeschlossene Seite eines Dreiecks alle kongruent zu zwei entsprechenden Winkeln und ihrer eingeschlossenen Seite eines anderen Dreiecks sind, sind die beiden Dreiecke kongruent.
AAS Theorem Example
Hier bieten wir zwei neue Dreiecke an, △LEG und △ARM. Beachten Sie all die kleinen Schraffuren, die kongruente Winkel und Seiten anzeigen:
∠L ≅ ∠A
∠E ≅ ∠R
Seite LG ≅ Seite AM
Wenn Sie wissen, dass die Innenwinkel wie angegeben kongruent sind, was wissen Sie dann noch?
Wir hoffen, dass Sie gesagt haben, dass ∠G ≅ ∠M ist, denn:
- 180° – ∠L – ∠E = ∠G
- 180° – ∠A – ∠R = ∠M
- ∠G ≅ ∠M
Was können Sie nun damit tun? Setzen Sie ASA ein und erklären Sie die beiden Dreiecke für kongruent, denn:
∠L ≅ ∠A
Seite LG ≅ Seite AM
∠G ≅ ∠M
Was echte Geometriker tun
Sie brauchen die Kongruenz des dritten Winkels nicht zu beweisen und dann ASA einzusetzen, denn wir haben ja den AAS-Satz parat. Echte Mathematiker und Geometriker springen also gleich zu AAS und erklären die beiden Dreiecke für kongruent.
Wenn Sie dieses Theorem einem anderen Studenten, einem Freund oder einem zufälligen Fremden auf der Straße erklären müssen, können Sie den Sprung von zwei Winkeln zu dem mysteriösen dritten Winkel nicht ohne eine Erklärung machen. Dann müssen Sie vielleicht erklären, wie wir im Wesentlichen einen unserer ursprünglichen Winkel zugunsten des dritten Winkels aufgeben.
Es ist diese mentale Verschiebung, von einem gegebenen Winkel zu dem neu identifizierten dritten Winkel, die es Ihnen erlaubt, die ehrfurchtgebietende Kraft von ASA anzuzapfen und unsere zuvor abgelegene Seite in den Beweis aufzunehmen.
Schließlich, nachdem Sie Ihren Kumpel durch diese Schritte geführt haben, schlagen Sie ihn mit der Effizienz und der noch größeren Macht von AAS, wo zwei beliebige Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite verwendet werden können, um Kongruenz zwischen Dreiecken zu identifizieren. Ziemlich beeindruckend, nicht wahr?
Zusammenfassung der Lektion
Nachdem Sie nun mit Dreiecken gebastelt und diese Notizen studiert haben, sind Sie in der Lage, den Winkel-Winkel-Seiten-Satz (AAS) abzurufen und anzuwenden, die richtigen Zeitpunkte für die Anwendung von AAS zu kennen, die Verbindung zwischen AAS und ASA herzustellen und (vielleicht am hilfreichsten von allen) jemandem zu erklären, wie AAS hilft, Kongruenz in Dreiecken zu bestimmen.
Nächste Lektion:
HA-Theorem