Betrachten wir den zweidimensionalen Spannungszustand, bei dem die Spannungen σx, σy und τxy sind.Wir haben, für einen anderen Satz orthogonaler Achsen x‘-y‘ im Winkel θ mit x-y, die Spannungen sind
σ x ′ = σ x + σ y 2 + σ x – σ y 2 cos 2 θ + τ sin 2 θ {\displaystyle \sigma _{x‘}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}+{\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\cos 2\theta +\tau \sin 2\theta }
τ x ′ y ′ = – σ x – σ y 2 sin 2 θ + τ x y cos 2 θ {\displaystyle \tau _{x’y‘}=-{\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }
Aus den obigen Gleichungen, können wir sehen, dass wir für beliebige Spannungszustände, die durch σx, σy und τxy gegeben sind, einen solchen Wert von θ finden können, dass der Wert von σx‘ maximal ist.Dieser Wert wird als Hauptspannung σ1 (für Maximum) oder σ2 (für Minimum) bezeichnet.
Die Hauptspannungen sind gegeben durch
σ 1 , 2 = σ x + σ y 2 ± ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \sigma _{1,2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
und die maximale Schubspannung ist gegeben durch
τmax = (σ1 – σ2)/2
Aus den Definitionen für σx‘ und τx’y‘, haben wir
( σ x ′ – σ x + σ y 2 ) 2 + τ x ′ y ′ 2 = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \left(\sigma _{x‘}-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{x’y‘}^{2}=\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}
Im σ-τ-Diagramm, ist dies ein Kreis mit Mittelpunkt auf der x-Achse, und der Abstand des Zentrums vom Ursprung ist gegeben durch (σx + σy)/2 und ein Radius gegeben durch
R = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle R={\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
Dieser Kreis ist als Mohrscher Kreis bekannt, und ist nützlich, um den Spannungszustand an einem Punkt zu visualisieren.
Die obige Abbildung zeigt den Mohrschen Kreis für einen Spannungszustand (σ, τ).Der Mittelpunkt und der Radius des Kreises ergeben sich aus den oben genannten Gleichungen.Die andere Spannung σy kann an dem Punkt abgelesen werden, der dem Punkt (σ, τ) diametral gegenüberliegt.
Mohrscher Kreis für allgemeine Fälle
