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Lineare Gleichung in zwei Variablen
Eine lineare Gleichung in zwei Variablen, x und y, kann in der Form
ax + by = c
geschrieben werden, wobei x und y reelle Zahlen sind und a und b nicht beide Null sind.
Zum Beispiel ist 3x + 2y = 8 eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
Eine Lösung einer solchen Gleichung ist ein geordnetes Paar von Zahlen (x, y), das die Gleichung wahr macht, wenn die Werte von x und y in die Gleichung eingesetzt werden.
Zum Beispiel sind sowohl (2, 1) als auch (0, 4) Lösungen der Gleichung, aber (2, 0) ist keine Lösung. Eine lineare Gleichung in zwei Variablen hat unendlich viele Lösungen.
Das folgende Video zeigt, wie man geordnete Paare vervollständigt, um eine Lösung für lineare Gleichungen zu finden.
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Gleichzeitige Gleichungen
Wenn eine weitere lineare Gleichung in denselben Variablen gegeben ist, ist es normalerweise möglich, eine eindeutige Lösung für beide Gleichungen zu finden. Zwei Gleichungen mit denselben Variablen werden als Gleichungssystem bezeichnet, und die Gleichungen im System werden als simultane Gleichungen bezeichnet. Ein System von zwei Gleichungen zu lösen bedeutet, ein geordnetes Zahlenpaar zu finden, das beide Gleichungen im System erfüllt.
Es gibt zwei grundlegende Methoden, um Systeme von linearen Gleichungen zu lösen, durch Substitution oder durch Eliminierung.
Substitutionsmethode
Bei der Substitutionsmethode wird eine Gleichung so manipuliert, dass eine Variable in Form der anderen ausgedrückt wird. Dann wird der Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt.
Zum Beispiel: Um das Gleichungssystem
3x + 2y = 2
y + 8 = 3x
Isolieren Sie die Variable y in der Gleichung y + 8 = 3x, um y = 3x – 8 zu erhalten.
Ersetzen Sie dann 3x – 8 für y in der Gleichung 3x + 2y = 2.
3x + 2 (3x – 8) = 2
3x + 6x – 16 = 2
9x – 16 = 2
9x = 18
Setzen Sie x = 2 in y = 3x – 8 ein.um den Wert für y zu erhalten
y = 3 (2) – 8
y = 6 – 8 = – 2
Antwort: x = 2 und y = -2
Wie löst man simultane Gleichungen durch Substitution?
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Eliminierungsmethode
Bei der Eliminierungsmethode geht es darum, die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen gleich zu machen, sodass eine Variable entweder durch Addition der Gleichungen oder durch Subtraktion der einen von der anderen eliminiert werden kann.
Betrachten Sie das folgende Beispiel:
2x + 3y = -2 4x – 3y = 14
In diesem Beispiel sind die Koeffizienten von y bereits gegensätzlich (+3 und -3). Addieren Sie einfach die beiden Gleichungen, um y zu eliminieren.
6x = 12
Um den Wert von y zu erhalten, müssen wir x = 2 in die Gleichung 2x + 3y = -2
2(2) + 3y = -2
4 + 3y = -2
3y = -6
y = -2
Antwort: x = 2 und y = -2
Lösen von simultanen Gleichungen mit der Substitutionsmethode und der Eliminationsmethode (oder Kombinationsmethode)
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Beispiel für die GRE Quantitative Vergleichsfrage, die simultane Gleichungen beinhaltet
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Wie löst man (lineare) simultane Gleichungen mit der Eliminationsmethode?
Es werden vier Beispiele gegeben, wobei das letzte Beispiel die Multiplikation beider Gleichungen erfordert, bevor eine der Variablen eliminiert werden kann.
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