Es gibt verschiedene Arten von Singularitäten, die jeweils unterschiedliche physikalische Eigenschaften haben, die für die Theorien, aus denen sie ursprünglich entstanden sind, relevant sind, wie zum Beispiel die unterschiedliche Form der Singularitäten, konisch und gekrümmt. Es wurde auch angenommen, dass sie ohne Ereignishorizonte auftreten, Strukturen, die einen Raumzeitabschnitt von einem anderen abgrenzen, in dem sich Ereignisse nicht über den Horizont hinaus auswirken können; diese werden als nackt bezeichnet.
Konisch
Eine konische Singularität tritt auf, wenn es einen Punkt gibt, an dem der Grenzwert jeder diffeomorph invarianten Größe endlich ist, in diesem Fall ist die Raumzeit am Punkt des Grenzwertes selbst nicht glatt. Die Raumzeit sieht also wie ein Kegel um diesen Punkt aus, wobei die Singularität an der Spitze des Kegels liegt. Die Metrik kann überall in diesem Koordinatensystem endlich sein.
Ein Beispiel für eine solche konische Singularität ist ein kosmischer String und ein Schwarzschild-Schwarzes Loch.
KrümmungBearbeiten
Lösungen der Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie oder einer anderen Gravitationstheorie (wie z.B. der Supergravitation) führen oft dazu, dass man auf Punkte stößt, an denen sich die Metrik ins Unendliche aufbläht. Viele dieser Punkte sind jedoch völlig regulär, und die Unendlichkeiten sind lediglich eine Folge der Verwendung eines ungeeigneten Koordinatensystems an diesem Punkt. Um zu testen, ob es an einem bestimmten Punkt eine Singularität gibt, muss man prüfen, ob an diesem Punkt diffeomorphismusinvariante Größen (d.h. Skalare) unendlich werden. Solche Größen sind in jedem Koordinatensystem gleich, so dass diese Unendlichkeiten durch eine Änderung der Koordinaten nicht „verschwinden“.
Ein Beispiel ist die Schwarzschild-Lösung, die ein nicht rotierendes, ungeladenes Schwarzes Loch beschreibt. In Koordinatensystemen, die für das Arbeiten in Regionen weit weg vom Schwarzen Loch geeignet sind, wird ein Teil der Metrik am Ereignishorizont unendlich. Allerdings ist die Raumzeit am Ereignishorizont regulär. Die Regelmäßigkeit wird deutlich, wenn man in ein anderes Koordinatensystem (z. B. die Kruskal-Koordinaten) wechselt, wo die Metrik vollkommen glatt ist. Andererseits deuten die Lösungen im Zentrum des Schwarzen Lochs, wo die Metrik ebenfalls unendlich wird, auf die Existenz einer Singularität hin. Die Existenz der Singularität kann verifiziert werden, indem man feststellt, dass der Kretschmann-Skalar, der das Quadrat des Riemann-Tensors ist, d.h. R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ {\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }}
, die diffeomorphismusinvariant ist, ist unendlich.
Während bei einem nicht rotierenden Schwarzen Loch die Singularität an einem einzigen Punkt in den Modellkoordinaten auftritt, was als „Punktsingularität“ bezeichnet wird, tritt die Singularität bei einem rotierenden Schwarzen Loch, das auch als Kerr-Schwarzes Loch bezeichnet wird, auf einem Ring (einer Kreislinie) auf, was als „Ringsingularität“ bezeichnet wird. Eine solche Singularität kann theoretisch auch zu einem Wurmloch werden.
Allgemein gilt eine Raumzeit als singulär, wenn sie geodätisch unvollständig ist, das heißt, dass es frei fallende Teilchen gibt, deren Bewegung nach dem Erreichen der Singularität über eine endliche Zeit hinaus nicht bestimmt werden kann. Zum Beispiel würde jeder Beobachter innerhalb des Ereignishorizonts eines nicht rotierenden Schwarzen Lochs innerhalb einer endlichen Zeitspanne in dessen Zentrum fallen. Die klassische Version des kosmologischen Urknallmodells des Universums enthält eine kausale Singularität am Anfang der Zeit (t=0), wo alle zeitlichen Geodäten keine Ausdehnung in die Vergangenheit haben. Extrapoliert man zu diesem hypothetischen Zeitpunkt 0 zurück, so ergibt sich ein Universum mit allen Raumdimensionen der Größe Null, unendlicher Dichte, unendlicher Temperatur und unendlicher Raumzeitkrümmung.
Nackte SingularitätBearbeiten
Bis in die frühen 1990er Jahre war die Meinung weit verbreitet, dass die allgemeine Relativitätstheorie jede Singularität hinter einem Ereignishorizont versteckt, was nackte Singularitäten unmöglich macht. Dies wird als die kosmische Zensurhypothese bezeichnet. Im Jahr 1991 führten die Physiker Stuart Shapiro und Saul Teukolsky jedoch Computersimulationen einer rotierenden Staubebene durch, die darauf hindeuteten, dass die allgemeine Relativitätstheorie „nackte“ Singularitäten zulassen könnte. Wie diese Objekte in einem solchen Modell tatsächlich aussehen würden, ist unbekannt. Es ist auch nicht bekannt, ob Singularitäten noch auftreten würden, wenn die vereinfachenden Annahmen, die für die Simulation verwendet wurden, entfernt würden. Es wird jedoch angenommen, dass bei Licht, das in eine Singularität eintritt, die Geodäten ebenfalls enden würden, so dass die nackte Singularität wie ein Schwarzes Loch aussehen würde.
In der Kerr-Metrik, die ein rotierendes Schwarzes Loch im Vakuum darstellt, existieren verschwindende Ereignishorizonte, wenn der Drehimpuls ( J {\displaystyle J}
) groß genug ist. Transformiert man die Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten, kann man zeigen, dass die Koordinate (die nicht der Radius ist) des Ereignishorizonts r ± = μ ± ( μ 2 – a 2 ) 1 / 2 {\displaystyle r_{\pm }=\mu \pm (\mu ^{2}-a^{2})^{1/2}}
, wobei μ = G M / c 2 {\displaystyle \mu =GM/c^{2}}
, und a = J / M c {\displaystyle a=J/Mc}
. In diesem Fall bedeutet „Ereignishorizonte verschwinden“, wenn die Lösungen für r ± {\displaystyle r_{\pm }} komplex sind
, oder μ 2 < a 2 {\displaystyle \mu ^{2}<a^{2}}
. Dies entspricht jedoch einem Fall, in dem J {\displaystyle J}
den Wert G M 2 / c {\displaystyle GM^{2}/c}
(oder in Planck-Einheiten, J > M 2 {\displaystyle J>M^{2}}
), d.h. der Spin überschreitet das, was man normalerweise als Obergrenze seiner physikalisch möglichen Werte betrachtet.
In ähnlicher Weise kann man verschwindende Ereignishorizonte auch bei der Reissner-Nordström-Geometrie eines geladenen Schwarzen Lochs sehen, wenn die Ladung ( Q {\displaystyle Q}
) groß genug ist. In dieser Metrik kann gezeigt werden, dass die Singularitäten bei r ± = μ ± ( μ 2 – q 2 ) 1 / 2 {\displaystyle r_{\pm }=\mu \pm (\mu ^{2}-q^{2})^{1/2}} auftreten.
, wobei μ = G M / c 2 {\displaystyle \mu =GM/c^{2}}
, und q 2 = G Q 2 / ( 4 π ϵ 0 c 4 ) {\displaystyle q^{2}=GQ^{2}/(4\pi \epsilon _{0}c^{4})}
. Von den drei möglichen Fällen für die relativen Werte von μ {\displaystyle \mu }
und q {\displaystyle q}
, der Fall, in dem μ 2 < q 2 {\displaystyle \mu ^{2}<q^{2}}
bewirkt sowohl r ± {\displaystyle r_{\pm }}
komplex ist. Das bedeutet, die Metrik ist regulär für alle positiven Werte von r {\displaystyle r}
, oder in anderen Worten, die Singularität hat keinen Ereignishorizont. Dies entspricht jedoch einem Fall, in dem Q / 4 π ϵ 0 {\displaystyle Q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}}
überschreitet M G {\displaystyle M{\sqrt {G}}
(oder in Planck-Einheiten, Q > M {\displaystyle Q>M}
), d.h. die Ladung überschreitet das, was normalerweise als Obergrenze ihrer physikalisch möglichen Werte angesehen wird. Auch von tatsächlichen astrophysikalischen Schwarzen Löchern erwartet man, dass sie keine nennenswerte Ladung besitzen.
Ein Schwarzes Loch, das die geringste M {\displaystyle M}
Wert, der mit seinem J {\displaystyle J}
und Q {\displaystyle Q}
-Werten und den oben genannten Grenzwerten übereinstimmt, d.h. gerade an dem Punkt ist, an dem er seinen Ereignishorizont verliert, wird als extrem bezeichnet.