Guinguette Marais Poitevin

Beispiel

Versuchen Sie, den Durchmesser eines Tennisballs mit dem Meterstab zu messen. Wie groß ist die Unsicherheit bei dieser Messung?

Auch wenn der Meterstab auf 0,1 cm genau abgelesen werden kann, können Sie den Durchmesser wahrscheinlich nicht auf 0,1 cm genau bestimmen.

• Welche Faktoren schränken Ihre Fähigkeit ein, den Durchmesser des Balls zu bestimmen?
• Was ist eine realistischere Schätzung der Unsicherheit bei Ihrer Messung des Durchmessers des Balls?

Antworten: Es ist schwer, den Rand des Balls mit den Markierungen auf dem Lineal in Einklang zu bringen und das Bild ist unscharf. Obwohl auf dem Lineal Markierungen für alle 0,1 cm vorhanden sind, sind nur die Markierungen bei jeweils 0,5 cm deutlich zu sehen. Ich schätze, dass ich zuverlässig messen kann, wo der Rand des Tennisballs bis auf etwa die Hälfte einer dieser Markierungen, also etwa 0,2 cm, liegt. Der linke Rand liegt bei ca. 50,2 cm und der rechte Rand bei ca. 56,5 cm, also beträgt der Durchmesser des Balls ca. 6,3 cm ± 0,2 cm.

Weiteres Beispiel

Versuchen Sie, die Dicke einer CD-Hülle aus diesem Bild zu bestimmen.

• Wie können Sie die Dicke einer einzelnen CD-Hülle aus diesem Bild am genauesten messen? (Obwohl das Lineal unscharf ist, können Sie die Dicke einer einzelnen CD-Hülle mit einer Genauigkeit von weniger als 0,1 cm bestimmen.)
• Bestimmen Sie die Dicke einer einzelnen CD-Hülle (und die Unsicherheit dieser Messung)
• Welche implizite(n) Annahme(n) treffen Sie über die CD-Hüllen?

Antworten: Am besten messen Sie die Dicke des Stapels und dividieren durch die Anzahl der Hüllen im Stapel. Auf diese Weise wird die Messunsicherheit auf alle 36 CD-Hüllen aufgeteilt. Es ist schwierig, das Lineal auf dem Bild näher als bis auf etwa 0,2 cm abzulesen (siehe vorheriges Beispiel). Der Stapel beginnt etwa bei der 16,5 cm-Marke und endet etwa bei der 54,5 cm-Marke, also ist der Stapel etwa 38,0 cm ± 0,2 cm lang. Teilen Sie die Länge des Stapels durch die Anzahl der CD-Hüllen im Stapel (36), um die Dicke einer einzelnen Hülle zu erhalten: 1,056 cm ± 0,006 cm. Indem Sie die Unsicherheit über den gesamten Gehäusestapel „verteilen“, erhalten Sie eine Messung, die genauer ist als die, die durch das Messen nur eines der Gehäuse mit demselben Lineal ermittelt werden kann. Wir nehmen an, dass alle Kisten die gleiche Dicke haben und dass zwischen den Kisten kein Zwischenraum ist.

Schätzung der Unsicherheit aus mehreren Messungen

Eine Möglichkeit, das Vertrauen in experimentelle Daten zu erhöhen, besteht darin, dieselbe Messung viele Male zu wiederholen. Eine Möglichkeit, die Zeit abzuschätzen, die etwas braucht, um zu geschehen, ist zum Beispiel, die Zeit einmal mit einer Stoppuhr zu messen. Sie können die Unsicherheit in dieser Schätzung verringern, indem Sie dieselbe Messung mehrmals durchführen und den Durchschnitt ermitteln. Je mehr Messungen Sie machen (vorausgesetzt, es gibt kein Problem mit der Uhr!), desto besser wird Ihre Schätzung sein.

Mit mehreren Messungen können Sie auch die Unsicherheit Ihrer Messungen besser abschätzen, indem Sie überprüfen, wie reproduzierbar die Messungen sind. Wie genau Ihre Schätzung der Zeit ist, hängt von der Streuung der Messungen (oft gemessen mit einer Statistik namens Standardabweichung) und der Anzahl (N) der wiederholten Messungen ab, die Sie durchführen.

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Maria hat mit der gleichen Stoppuhr gemessen, wie lange es dauert, bis eine Stahlkugel von der Tischoberkante auf den Boden fällt. Sie erhielt die folgenden Daten:

0,32 s, 0,54 s, 0,44 s, 0,29 s, 0,48 s

Durch fünf Messungen hat Maria die Unsicherheit in der Zeitmessung deutlich verringert. Maria hat auch eine grobe Schätzung der Unsicherheit in ihren Daten; es ist sehr wahrscheinlich, dass die „wahre“ Zeit, die der Ball zum Fallen braucht, irgendwo zwischen 0,29 s und 0,54 s liegt. Um eine differenziertere Schätzung der Unsicherheit zu erhalten, ist Statistik erforderlich.

Einige statistische Konzepte

Bei wiederholten Messungen gibt es drei wichtige statistische Größen: Durchschnitt (oder Mittelwert), Standardabweichung und Standardfehler. Diese sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Statistik	Was sie ist	Statistische Interpretation	Symbol
Mittelwert	ein Schätzwert für den „wahren“ Wert der Messung	der Zentralwert	xave
Standardabweichung	ein Maß für die „Streuung“ in den Daten	Sie können einigermaßen sicher sein (etwa 70 % sicher), dass, wenn Sie die gleiche Messung noch einmal wiederholen, diese nächste Messung weniger als eine Standardabweichung vom Durchschnitt entfernt sein wird.	s
Standardfehler	Eine Schätzung der Unsicherheit im Mittelwert der Messungen	Sie können einigermaßen sicher sein (etwa 70% sicher), dass, wenn Sie das gesamte Experiment noch einmal mit der gleichen Anzahl von Wiederholungen durchführen, der Mittelwert aus dem neuen Experiment weniger als einen Standardfehler vom Mittelwert aus diesem Experiment entfernt sein wird.	SE

Marias Daten revisited

Die Statistiken für Marias Stoppuhrdaten sind unten angegeben:

• xave = 0,41 s
• s = 0,11 s
• SE = 0,05 s

Es ist ziemlich klar, was der Durchschnitt bedeutet, aber was sagen die anderen Statistiken über Marias Daten aus?

• Standardabweichung: Wenn Maria den Fall des Objekts noch einmal messen würde, besteht eine gute Chance (etwa 70 %), dass der Stoppuhrwert, den sie erhalten wird, innerhalb einer Standardabweichung des Durchschnitts liegt. Mit anderen Worten, wenn sie das nächste Mal die Zeit des Falls misst, besteht eine 70%ige Chance, dass der Stoppuhrwert zwischen (0,41 s – 0,11 s) und (0,41 s + 0,11 s) liegt.
• Standardfehler: Wenn Maria das gesamte Experiment (alle fünf Messungen) noch einmal durchführen würde, besteht eine gute Chance (etwa 70 %), dass der Durchschnitt dieser fünf neuen Messungen innerhalb eines Standardfehlers des Durchschnitts liegt. Mit anderen Worten: Wenn Maria das nächste Mal alle fünf Messungen wiederholt, wird der Durchschnitt zwischen (0,41 s – 0,05 s) und (0,41 s + 0,05 s) liegen.

Berechnen der Statistik mit Excel

Tabellenkalkulationsprogramme (wie Microsoft Excel) können Statistiken einfach berechnen. Sobald Sie die Daten in Excel haben, können Sie das eingebaute Statistikpaket verwenden, um den Durchschnitt und die Standardabweichung zu berechnen.

So berechnen Sie den Durchschnitt der Zellen A4 bis A8: Markieren Sie die Zelle, in der der Durchschnitt erscheinen soll (in diesem Beispiel D1) Geben Sie „=Durchschnitt(a4:a8)“ Drücken Sie die Eingabetaste
	Um die Standardabweichung der fünf Zahlen zu berechnen, verwenden Sie die in Excel eingebaute Funktion STDEV.
Excel verfügt nicht über eine Standardfehlerfunktion, daher müssen Sie die Formel für den Standardfehler verwenden: wobei N die Anzahl der Beobachtungen ist

Unsicherheit in Berechnungen

Was ist, wenn Sie die Unsicherheit für eine Größe bestimmen wollen, die aus einer oder mehreren Messungen berechnet wurde? Es gibt komplizierte und weniger komplizierte Methoden, dies zu tun. Für diesen Kurs werden wir die einfache verwenden. Die Upper-Lower Bounds-Methode zur Bestimmung der Unsicherheit in Berechnungen ist formal nicht ganz so korrekt, reicht aber aus. Die Grundidee dieser Methode besteht darin, die Unsicherheitsbereiche jeder Variablen zu verwenden, um die maximalen und minimalen Werte der Funktion zu berechnen. Sie können sich dieses Verfahren auch so vorstellen, dass Sie den besten und den schlechtesten Fall berechnen. Wenn Sie z. B. den Flächeninhalt eines Quadrats finden wollen und eine Seite mit einer Länge von 1,2 +/- 0,2 m und die andere Länge mit 1,3 +/- 0,3 m messen, dann wäre der Flächeninhalt: