Der Ursprung des Wortes „ratio“ lässt sich auf das altgriechische λόγος (logos) zurückführen. Frühe Übersetzer übersetzten dies ins Lateinische als ratio („Grund“; wie in dem Wort „rational“). Eine modernere Interpretation von Euklids Bedeutung ist eher verwandt mit „Berechnung“ oder „Abrechnung“. Mittelalterliche Schriftsteller benutzten das Wort proportio („Verhältnis“) für die Ratio und proportionalitas („Verhältnismäßigkeit“) für die Gleichheit der Verhältnisse.
Euklid sammelte die Ergebnisse, die in den Elementen erscheinen, aus früheren Quellen. Die Pythagoräer entwickelten eine Theorie des Verhältnisses und der Proportion, wie sie auf Zahlen angewandt wird. Der Zahlenbegriff der Pythagoräer umfasste nur das, was man heute als rationale Zahlen bezeichnen würde, was Zweifel an der Gültigkeit der Theorie in der Geometrie aufkommen ließ, wo, wie die Pythagoräer ebenfalls entdeckten, inkommensurable Verhältnisse (entsprechend irrationalen Zahlen) existieren. Die Entdeckung einer Theorie der Verhältnisse, die keine Kommensurabilität voraussetzt, ist wahrscheinlich auf Eudoxus von Cnidus zurückzuführen. Die Darstellung der Theorie der Proportionen, die im Buch VII der Elemente erscheint, spiegelt die frühere Theorie der Verhältnisse von Kommensurablen wider.
Die Existenz mehrerer Theorien scheint unnötig kompliziert, da Verhältnisse weitgehend mit Quotienten und ihren prospektiven Werten identifiziert werden. Dies ist jedoch eine vergleichsweise junge Entwicklung, wie man daran erkennen kann, dass moderne Geometrie-Lehrbücher immer noch eine unterschiedliche Terminologie und Notation für Verhältnisse und Quotienten verwenden. Die Gründe dafür sind zweierlei: Erstens gab es die bereits erwähnte Zurückhaltung, irrationale Zahlen als echte Zahlen zu akzeptieren, und zweitens verzögerte das Fehlen einer weit verbreiteten Symbolik, die die bereits etablierte Terminologie der Quotienten ersetzen konnte, die volle Akzeptanz der Brüche als Alternative bis zum 16. Jahrhundert.
Euklids DefinitionenEdit
Buch V von Euklids Elementen enthält 18 Definitionen, die sich alle auf Verhältnisse beziehen. Darüber hinaus verwendet Euklid Begriffe, die so gebräuchlich waren, dass er keine Definitionen für sie aufnahm. Die ersten beiden Definitionen besagen, dass ein Teil einer Menge eine andere Menge ist, die sie „misst“, und umgekehrt, dass ein Vielfaches einer Menge eine andere Menge ist, die sie misst. In der modernen Terminologie bedeutet dies, dass ein Vielfaches einer Menge die Menge ist, die mit einer ganzen Zahl größer als eins multipliziert wird, und ein Teil einer Menge (d.h. ein aliquoter Teil) ist ein Teil, der, wenn er mit einer ganzen Zahl größer als eins multipliziert wird, die Menge ergibt.
Euklid definiert den Begriff „Maß“, wie er hier verwendet wird, nicht, jedoch kann man ableiten, dass, wenn eine Menge als eine Maßeinheit genommen wird und eine zweite Menge als eine ganzzahlige Anzahl dieser Einheiten angegeben wird, dann misst die erste Menge die zweite. Diese Definitionen werden, fast wortwörtlich, als Definitionen 3 und 5 in Buch VII wiederholt.
Definition 3 beschreibt, was ein Verhältnis in allgemeiner Weise ist. Sie ist nicht streng im mathematischen Sinne und einige haben sie eher Euklids Redakteuren zugeschrieben als Euklid selbst. Euklid definiert ein Verhältnis als zwischen zwei Größen der gleichen Art, so dass nach dieser Definition die Verhältnisse von zwei Längen oder von zwei Flächen definiert sind, aber nicht das Verhältnis von einer Länge und einer Fläche. Definition 4 macht dies noch strenger. Sie besagt, dass ein Verhältnis zweier Größen vorliegt, wenn es von jeder ein Vielfaches gibt, das die andere übersteigt. In moderner Schreibweise liegt ein Verhältnis zwischen den Größen p und q vor, wenn es ganze Zahlen m und n gibt, so dass mp>q und nq>p. Diese Bedingung ist als Archimedes-Eigenschaft bekannt.
Definition 5 ist die komplexeste und schwierigste. Sie definiert, was es bedeutet, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Heutzutage kann man dies tun, indem man einfach sagt, dass Verhältnisse gleich sind, wenn die Quotienten der Terme gleich sind, aber eine solche Definition wäre für Euklid sinnlos gewesen. In moderner Schreibweise lautet Euklids Definition der Gleichheit, dass bei gegebenen Mengen p, q, r und s, p∶q∷r ∶s nur dann gilt, wenn für beliebige positive ganze Zahlen m und n, np<mq, np=mq oder np>mq entsprechend als nr<ms, nr=ms oder nr>ms. Diese Definition hat Affinitäten zu Dedekind-Schnitten, da, wenn n und q beide positiv sind, np zu mq steht, wie p/q zur rationalen Zahl m/n (beide Terme durch nq dividiert).
Definition 6 besagt, dass Mengen, die das gleiche Verhältnis haben, proportional oder im Verhältnis sind. Euklid verwendet das griechische ἀναλόγον (analogon), das die gleiche Wurzel wie λόγος hat und mit dem englischen Wort „analog“ verwandt ist.
Definition 7 definiert, was es bedeutet, dass ein Verhältnis kleiner oder größer als ein anderes ist, und basiert auf den Ideen in Definition 5. In moderner Schreibweise besagt sie, dass bei gegebenen Mengen p, q, r und s p∶q>r∶s ist, wenn es positive ganze Zahlen m und n gibt, so dass np>mq und nr≤ms ist.
Wie bei Definition 3 wird auch Definition 8 von manchen als eine spätere Einfügung durch Euklids Redakteure angesehen. Sie definiert, dass drei Terme p, q und r im Verhältnis stehen, wenn p∶q∷q∶r. Dies wird erweitert auf 4 Terme p, q, r und s als p∶q∷q∶r∷r∶s, und so weiter. Folgen, die die Eigenschaft haben, dass die Verhältnisse aufeinanderfolgender Terme gleich sind, werden geometrische Progressionen genannt. Die Definitionen 9 und 10 wenden dies an und besagen, dass, wenn p, q und r im Verhältnis stehen, p∶r das doppelte Verhältnis von p∶q ist und wenn p, q, r und s im Verhältnis stehen, p∶s das dreifache Verhältnis von p∶q ist.