Was ist experimentelle Wahrscheinlichkeit?
In der Mathematik, wenn wir uns mit der Wahrscheinlichkeit beschäftigen, werden wir möglicherweise nach der experimentellen Wahrscheinlichkeit eines Experiments gefragt. Das bedeutet, dass man nach der Wahrscheinlichkeit sucht, mit der etwas passiert, basierend auf den Ergebnissen eines tatsächlichen Experiments. Dies ist die Definition der experimentellen Wahrscheinlichkeit.
Wenn Sie also zum Beispiel nach der Wahrscheinlichkeit gefragt werden, Kopf zu bekommen, nachdem Sie 10 Mal eine Münze geworfen haben, ist die experimentelle Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Male, die Sie Kopf bekommen haben, nachdem Sie 10 Mal eine Münze geworfen haben. Nehmen wir an, dass Sie bei 10 Würfen 6 Mal Kopf erhalten haben. Dann ist Ihre experimentelle Wahrscheinlichkeit 6/10 oder 60 %.
Was ist theoretische Wahrscheinlichkeit
Für die theoretische Wahrscheinlichkeit ist es nicht erforderlich, dass Sie das Experiment tatsächlich durchführen und sich dann die Ergebnisse ansehen. Stattdessen ist die theoretische Wahrscheinlichkeit das, was Sie bei einem Experiment erwarten (die erwartete Wahrscheinlichkeit). Dies ist die Definition der theoretischen Wahrscheinlichkeit.
Im Fall des Münzwurfs, da es zwei Seiten einer Münze gibt und die Chance, dass beide Seiten beim Werfen der Münze landen, gleich groß ist, sollte die theoretische Wahrscheinlichkeit 12\frac{1}{2}21 oder 50 % betragen.
Theoretische vs. experimentelle
Warum gibt es einen Unterschied zwischen theoretischer und experimenteller Wahrscheinlichkeit? Die Beziehung zwischen den beiden ist, dass Sie feststellen werden, dass, wenn Sie das Experiment oft genug durchführen, die experimentelle Wahrscheinlichkeit immer näher an die Antwort der theoretischen Wahrscheinlichkeit herankommt. Sie können dies selbst mit einer Münze ausprobieren. Bei den ersten 10 Würfen werden Sie wahrscheinlich nicht genau 50 % für Kopf und Zahl erhalten, aber wenn Sie eine Münze 50 oder sogar 100 Mal werfen, werden Sie sehen, dass die Antwort der experimentellen Wahrscheinlichkeit immer näher an 50 % herankommt.
Übungsaufgaben
Wir werden nun sehen, wie experimentelle und theoretische Wahrscheinlichkeit mit diesen Fragen funktionieren.
Frage 1a: Zwei Münzen werden 20-mal geworfen, um die experimentelle Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, auf Kopf oder auf Zahl zu landen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zu sehen:
Wie hoch ist die experimentelle Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Kopf landen?
Lösung:
Wir suchen nach der experimentellen Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Kopf landen. Aus der Tabelle in der Frage wissen wir, dass es 4 von 20 Versuchen gab, bei denen beide Münzen auf Kopf gelandet sind. Die experimentelle Wahrscheinlichkeit ist also 420\frac{4}{20}204, was nach Vereinfachung des Bruches 15\frac{1}{5}51 (20%) entspricht
Frage 1b: Berechnen Sie die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Kopf landen.
Lösung:
Nun suchen wir die theoretische Wahrscheinlichkeit. Zunächst gibt es 4 mögliche Ergebnisse (H,H), (H, T), (T,H), (T, T). Bei 1 der 4 möglichen Ergebnisse landen beide Münzen auf Kopf. Also ist die theoretische Wahrscheinlichkeit 14\frac{1}{4}41 oder 25%
Frage 1c: Vergleichen Sie die theoretische Wahrscheinlichkeit und die experimentelle Wahrscheinlichkeit.
Aus den vorherigen Teilen wissen wir, dass die experimentelle Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Kopf landen, 20% beträgt, während in der Theorie eine 25%ige Chance bestehen sollte, dass beide Münzen auf Kopf landen. Daher ist die theoretische Wahrscheinlichkeit höher als die experimentelle Wahrscheinlichkeit.
Frage 1d:
Was können wir tun, um die Differenz zwischen der experimentellen Wahrscheinlichkeit und der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu verringern? Wir können das Experiment einfach fortsetzen, indem wir die Münze noch viele Male werfen – sagen wir 20.000 Mal. Wenn mehr Versuche durchgeführt werden, wird der Unterschied zwischen der experimentellen Wahrscheinlichkeit und der theoretischen Wahrscheinlichkeit kleiner werden. Die experimentelle Wahrscheinlichkeit wird sich allmählich dem Wert der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähern. In diesem Fall nähert sich die experimentelle Wahrscheinlichkeit dem Wert von 25 % an, wenn die Münzen öfter geworfen werden.
Wenn Sie nach weiteren Beispielen für experimentelle vs. theoretische Wahrscheinlichkeiten suchen, können Sie diese Frage gerne ausprobieren. Sie werden einige praktische Experimente durchführen müssen!