di M. Bourne
Abbiamo incontrato le aree sotto le curve prima nella sezione Integrazione (vedi 3. Area sotto una curva), ma qui sviluppiamo ulteriormente il concetto. (Potreste anche essere interessati ad Archimede e l’area di un segmento parabolico, dove impariamo che Archimede capì le idee alla base del calcolo, 2000 anni prima di Newton e Leibniz!)
È importante abbozzare la situazione prima di iniziare.
Vogliamo trovare l’area sotto la curva `y = f(x)` da `x = a` a `x = b`.
Si possono avere diverse situazioni:
Caso 1: Curve che sono interamente sopra l’asse x.
La curva y = f(x), completamente sopra l’asse x. Mostra un rettangolo “tipico”, largo Δx e alto y.
In questo caso, troviamo l’area semplicemente trovando l’integrale:
`”Area”=int_a^bf(x)dx`
Da dove viene questa formula?
Continua sotto ⇩
Mini-lezioni video
Per un po’ di background:
Mini-lezione sull’integrazione
Differenza tra integrali indefiniti e definiti
Integrazione per sostituzione
Area sotto una curva da principi primi
Nel diagramma sopra, è mostrato un “rettangolo tipico” con larghezza `Δx` e altezza `y`. La sua area è `yΔx`.
Se sommiamo tutti questi rettangoli tipici, partendo da `a` e finendo a `b`, l’area è circa:
`sum_{x=a}^\b(y)Deltax`
Ora se lasciamo che `Δx → 0`, possiamo trovare l’area esatta per integrazione:
`”Area”=int_a^bf(x)dx`
Questo segue dalle somme di Riemann, dal capitolo Introduzione all’integrazione.
Esempio del caso 1
Hai bisogno di carta grafica?
Trova l’area sotto la curva `y = x^2+ 2` da `x = 1` a `x = 2`.
Rispondi
La curva y = x2 + 2, mostrando la parte sottostante la curva da x = 1 a x = 2.
`testo = int_a^b f(x) dx`
`=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2`
`=`
`=13/3\ testo^2`
Caso 2: Curve che sono interamente sotto l’asse delle x
Consideriamo il caso in cui la curva è sotto l’asse delle x per l’intervallo di valori di x considerati.
In questo caso, l’integrale dà un numero negativo. Dobbiamo prendere il valore assoluto di questo per trovare la nostra area:
“Area”=|int_a^bf(x)dx||`
Esempio del caso 2
Trova l’area limitata da `y = x^2 – 4`, l’asse `x` e le linee `x = -1` e `x = 2`.
Risposta
La curva y = x2 – 4, che mostra la porzione sotto la curva da x = -1 a x = 2.
L’area richiesta è totalmente sotto l’asse `x` in questo esempio, quindi dobbiamo usare segni di valore assoluto.
`testo = |int_a^bf(x) dx|`
`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|`
`=|||`
`=|-9|`
`=9\ testo^2`
Caso 3: Una parte della curva è sotto l’asse x, una parte è sopra l’asse x
In questo caso, dobbiamo sommare le singole parti, prendendo il valore assoluto per la sezione dove la curva è sotto l’asse `x` (da `x = a` a `x = c`).
“Area”=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
Se non facciamo così, l’area “negativa” (la parte sotto l’asse `x`) sarà sottratta dalla parte “positiva”, e la nostra area totale non sarà corretta.
Esempio del caso 3
Qual è l’area delimitata dalla curva `y = x^3`, `x = -2` e `x = 1`?
Risposta
La curva y = x3, che mostra la parte sotto la curva da x = -2 a x = 1.
Dal grafico possiamo vedere che la parte tra `x = -2` e `x = 0` è sotto l’asse delle x, quindi dobbiamo prendere il valore assoluto per quella parte.
`text= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx“
`=|_-2^0|+_0^1`
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`=4+1/4`
`=4.25\ testo^2`
Non fare così!
Se trovi alla cieca l’integrale dal limite inferiore al limite superiore, non otterrai l’area reale in questi casi.
`text= int_(-2)^1x^3 dx`
`=_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3.25`
Questa non è la risposta corretta per l’area sotto la curva. È il valore dell’integrale, ma chiaramente un’area non può essere negativa.
È sempre meglio disegnare la curva prima di trovare le aree sotto le curve.
Sommario (finora)
In ciascuno dei casi 1, 2 e 3, stiamo sommando elementi da sinistra a destra, così:
Stiamo (efficacemente) trovando l’area sommando orizzontalmente le aree dei rettangoli, larghezza `dx` e altezza `y` (che troviamo sostituendo i valori di `x` in `f(x)`).
Quindi
`A=int_a^bf(x)dx`
(con segni di valore assoluto quando necessario, se la curva va sotto l’asse `x`).
Caso 4: Alcune curve sono molto più facili da sommare verticalmente
In alcuni casi, è più facile trovare l’area se si fanno somme verticali. A volte l’unico modo possibile è sommare verticalmente.
In questo caso, troviamo che l’area è la somma dei rettangoli, altezza `x = f(y)` e larghezza `dy`.
Se ci viene data `y = f(x)`, allora dobbiamo riesprimere questo come `x = f(y)` e dobbiamo sommare dal basso verso l’alto.
Quindi, nel caso 4 abbiamo:
`A=int_c^df(y)dy`Esempio del caso 4
Trova l’area della regione limitata dalla curva `y=sqrt(x-1)`, l’asse `y` e le linee `y = 1` e `y = 5`.
Risposta
Prima lo schizzo:
51015202530123456xyxdyx = y2 + 1La curva x = y2 + 1, che mostra la parte “sotto” la curva da y = 1 a y = 5.
In questo caso, esprimiamo x in funzione di y:
`y=sqrt{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1`
Quindi l’area è data da:
A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3\ testo`
Nota: Per questo particolare esempio, avremmo potuto anche sommarlo orizzontalmente (integrando `y` e usando `dx`), ma avremmo dovuto prima dividerlo in sezioni.
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