Data una dichiarazione if-then “se p , allora q ,” possiamo creare tre dichiarazioni correlate:
Una dichiarazione condizionale consiste di due parti, un’ipotesi nella clausola “se” e una conclusione nella clausola “allora”. Per esempio, “Se piove, allora cancellano la scuola”.
“Piove” è l’ipotesi.
“Cancellano la scuola” è la conclusione.
Per formare la conversione dell’enunciato condizionale, scambiate l’ipotesi e la conclusione.
La controparte di “Se piove, allora cancellano la scuola” è “Se cancellano la scuola, allora piove”.
Per formare l’inverso dell’enunciato condizionale, prendere la negazione sia dell’ipotesi che della conclusione.
L’inverso di “Se piove, allora cancellano la scuola” è “Se non piove, allora non cancellano la scuola”.
Per formare il contrapositivo dell’enunciato condizionale, scambiare l’ipotesi e la conclusione dell’enunciato inverso.
Il contrapositivo di “Se piove, allora cancellano la scuola” è “Se non cancellano la scuola, allora non piove”.
| Dichiarazione | Se p , allora q . |
| Converse | Se q , allora p . |
| Inverso | Se non p , allora non q . |
| Contrapposto | Se non q , allora non p . |
Se l’affermazione è vera, allora anche il contrapositivo è logicamente vero. Se il contrario è vero, allora anche l’inverso è logicamente vero.
Esempio 1:
| Dichiarazione | Se due angoli sono congruenti, allora hanno la stessa misura. |
| Converse | Se due angoli hanno la stessa misura, allora sono congruenti. |
| Inverso | Se due angoli non sono congruenti, allora non hanno la stessa misura. |
| Contrapposto | Se due angoli non hanno la stessa misura, allora non sono congruenti. |
Nell’esempio precedente, poiché l’ipotesi e la conclusione sono equivalenti, tutte e quattro le affermazioni sono vere. Ma questo non sarà sempre il caso!
Esempio 2:
| Dichiarazione | Se un quadrilatero è un rettangolo, allora ha due coppie di lati paralleli. |
| Converse | Se un quadrilatero ha due coppie di lati paralleli, allora è un rettangolo. (FALSO!) |
| Inverso | Se un quadrilatero non è un rettangolo, allora non ha due coppie di lati paralleli. (FALSO!) |
| Contrapposto | Se un quadrilatero non ha due coppie di lati paralleli, allora non è un rettangolo. |