Abbiamo visto il significato della derivata e delle sue varie notazioni, tra cui dy/dx. Questo porta alla prossima domanda: Cosa significano dx o dy da soli? Questo è stato toccato l’ultima volta, ma c’è molto di più da dire che non ho potuto inserire lì. Vedremo approcci più avanzati ai differenziali in se stessi, poi due prospettive su cosa significano negli integrali.
Differenziali come funzioni
Iniziamo con la pagina a cui due di noi hanno fatto riferimento nelle loro risposte la volta scorsa, che viene dal 1998:
DifferentialsI have to reach this conclusion:If you can get the differentials of a function, you can differentiate it, but if you can differentiate it, you can not necessarily get its differentials.Please help.
Come abbiamo già visto, i differenziali possono essere discussi da diverse prospettive. Questa domanda, priva di un contesto chiaro, non indica che tipo di funzione è in vista, o quale approccio ai differenziali viene adottato. Cosa significa qui “ottenere i differenziali di una funzione”? Il dottor Jerry ha risposto suggerendo un possibile contesto, dando una definizione che è molto diversa da quella che abbiamo visto finora, dove i differenziali erano solo numeri infinitesimali:
Hi Maria,The standard definition of the differential of a real-valued function f of a real variable is: At a given point x, the differential df_x (df sub x; usually the x is omitted) of f is the linear function defined on R by: df_x(h) = f'(x) * hEveryday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function. For example, if y = f(x) = x^2, then we write: dy = df = 2x * dxwhere dx is used instead of h. This is for good reason. The finite numbers dy and dx appearing in dy = 2x * dx can be manipulated to obtain: dy/dx = 2xI feel that I haven't replied directly to your question. I think that this is because I don't fully understand your question. Please write again if my answer has not helped.
Questa definizione prende il differenziale di una funzione per essere essa stessa una funzione, cioè la funzione il cui valore è la variazione verticale \(\Delta y\) lungo la linea tangente per una data variazione orizzontale (h o \(\Delta x\) o dx). In questo modo, non dobbiamo pensare a dy come un numero-che-non-è-un-numero (un infinitesimo), ma otteniamo l’azione di moltiplicare la derivata per qualsiasi numero dx.
Nel suo esempio, il differenziale di \(f(x) = x^2\) a x = 3 è \(df(h) = df_3(h) = f'(3)\cdot h = 6h\). Da questo punto di vista, il modo usuale di scrivere il differenziale come se fosse un numero è solo una scorciatoia. Mantenendo la variabile x, potremmo dire, completamente, \(df_x(dx) = 2x dx\), o brevemente, solo \(dy = 2x dx\). Per una versione leggermente diversa di questa definizione, si veda qui.
Maria ha chiesto di più, dando un po’ più di contesto ma non avendo ancora ben chiaro a che livello si trova:
Thanks for your answer. I know that the question is a little bit confusing, and at the beginning I thought it was a problem of the translation from English of the Math books. Your answer helped a little, so I am going to try to rephrase it.What is the difference between finding the derivatives of a function (dy/dx), and finding its differentials (dy, dx)?In the books I've seen they define differentials supposing that f(x) is differentiable.My teacher gave a hint to reach this conclusion: if you can find the differentials of f, then f is differentiable, but if f is differentiable you can't necessarily find its differentials.That is why I can prove this, starting with a function that is differentiable.
Non è ancora chiaro cosa significhi “le derivate di una funzione”; forse non intende un plurale.
Il dottor Jerry ha iniziato la sua risposta ribadendo la definizione precedente:
Hi Maria,Suppose f(x) = x^2. To find the derivative of f we use the definition of derivative: f'(x) is the limit as h->0 of the quotient f(x+h) - f(x) ------------- hFor this function, f'(x) = 2x.Okay, this much is clear; there is no possible ambiguity.The differential of f at x is defined to be the linear function df, which is defined on all of R by: df(h) = f'(x) * hOften, the notation df(h) is shortened to df or, if y = f(x), then we write dy instead of df. Then the above definition is: dy = f'(x)*dx or dy/dx = f'(x)Unless you are studying differential geometry, in which dx is interpreted slightly differently, dx is not the differential of a function. It is a variable, the same as h.
Tralascerò il resto della risposta, perché non credo che la domanda e il suo contesto siano mai stati chiariti, quindi non è chiaro quale risposta sia necessaria.
Se volete scavare più a fondo…
Il dottor Jerry ha menzionato la geometria differenziale di sfuggita, come un luogo dove i differenziali sono definiti più profondamente. Ci siamo addentrati solo occasionalmente in quel territorio; voglio solo citare la conclusione di una risposta non archiviata a una domanda sui differenziali, da parte del dottor Fenton nel 2009, nel caso foste interessati:
There is also a more sophisticated viewpoint in which what is integrated is not a function f(x), but rather what is called a "differential form". This viewpoint involves a lot of complicated mathematical structure and is more commonly seen in calculus of functions of several variables (see, for example, http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form )but it can also be used in one-dimensional calculus as well (e.g. in David Bressoud's book _Second Year Calculus_).So, the easiest viewpoint is the purely formal one, in which you do useful but basically meaningless computations (du=g'(x)dx which does the bookkeeping), but there is also a more complicated viewpoint in which the computations are not meaningless, but they require you to learn more abstract mathematics. For example, the one-dimensional differential form dx becomes a mapping from intervals on the real line to R, and dx() = b-a ,while the differential form 3x^2dx (to use one of Bressoud's examples) is the mapping which takes the interval to b / b^3 a^3 | 3x^2 dx = --- - --- . / 3 3 aThis becomes the viewpoint used in modern differential geometry.
Differenziali in notazione integrale definita
La settimana scorsa abbiamo parlato dell’uso dei differenziali nei simboli per la derivata. Vediamo un paio di domande sul loro uso nell’integrazione. Per prima cosa, abbiamo questo, dal 2002:
The Meaning of 'dx' in an IntegralNo matter how many times it's explained to me, and even though I've taken several advanced math courses (diff eq, linear algebra, etc), nobody has ever given me a satisfactory explanation for the meaning of the notation in which an integral has dx appended to the end if x is the variable which we are integrating with respect to. In physics, for example, dx seems to mean a very small amount of x, and then we use it in an integral to integrate whatever physical quantity is being discussed. I just don't understand. Or, when a differential is defined, all of a sudden the dx has a meaning, but then when an integral is being evaluated, the teacher says, "Oh, the dx is just a formality." So, sometimes it's a formality, sometimes a vital concept, sometimes a physical quantity, sometimes a derivative: What is it?
Quando scriviamo \(\int f(x) dx\), lo leggiamo come “l’integrale di f(x) rispetto a x,” non assegnando alcun significato a “dx” se non quello di dirci quale variabile ci interessa. (Infatti, a volte la dx può essere semplicemente omessa del tutto, quando la variabile è chiara!) Questo non è molto diverso dal suo uso in una derivata, dove significa anche “rispetto a x”. Cosa significa qui?
Il dottor Jeremiah ha risposto alla domanda, concentrandosi sull’idea di un integrale definito:
Hi Nosson,Think about it this way:An integral gives you the area between the horizontal axis and the curve. Most of the time this is the x axis. y | | --|-- ----|---- f(x) / | \ / | / | -------- | | / | | -----|------- | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is: b / Area = | f(x) dx / a
Questa è una definizione dell’integrale definito, in senso lato; ciò che segue definisce come può essere calcolato in linea di principio (e quindi, come è definito formalmente):
But say you didn't want to use an integral to measure the area between the x axis and the curve. Instead you just calculate the average value of the graph between a and b and draw a straight flat line y = avg(x) (the average value of x in that range).Now you have a graph like this: y | | - | - - - | - - f(x) | / | \ / | -----|-----------------------------------|---- avg(x) | / | | - - -|- - - - | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is a rectangle: Area = avg(x) w where w is the width of the sectionThe height is avg(x) and the width is w = b-a or in English, "the width of a slice of the x axis going from a to b."
La sua larghezza w sarebbe spesso chiamata \(\Delta x\); lo vedremo più avanti.
But say you need a more accurate area. You could break the graph up into smaller sections and make rectangles out of them. Say you make 4 equal sections: y | | |----|---| |-------|---- f(x) | | | | | | | |--------| | | | | | | | -----|---------| | | | | | | | | | | | | | | | | ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x a bAnd the area is: Area = section 1 + section 2 + section 3 + section 4 = avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) wwhere w is the width of each section. The sections are all the same size, so in this case w=(b-a)/4 or in English, "the width of a thin slice of the x axis or 1/4 of the width from a to b."
Stiamo iniziando a sviluppare l’integrale di Reimann (anche se sono necessari molti dettagli per una definizione completa, dato che per esempio le larghezze non devono essere realmente uguali).
And if we write this with a summation we get: 4 +--- \ Area = / avg(x,n) w +--- n=1But it's still not accurate enough. Let's use an infinite number of sections. Now our area becomes a summation of an infinite number of sections. Since it's an infinite sum, we will use the integral sign instead of the summation sign: / Area = | avg(x) w /where avg(x) for an infinitely thin section will be equal to f(x) in that section, and w will be "the width of an infinitely thin section of the x axis."So instead of avg(x) we can write f(x), because they are the same if the average is taken over an infinitely small width.
Ancora una volta, molti dettagli sono stati omessi per mantenere le cose intuitive.
And we can rename the w variable to anything we want. The width of a section is the difference between the right side and the left side. The difference between two points is often called the delta of those values. So the difference of two x values (like a and b) would be called delta-x. But that is too long to use in an equation, so when we have an infinitely small delta, it is shortened to dx.If we replace avg(x) and w with these equivalent things: / Area = | f(x) dx /
Così, come nell’approccio infinitesimale alla derivata, dx è pensato (informalmente) come un cambiamento molto piccolo in x.
So what the equation says is:Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are f(x) high and dx wide (where dx is an infinitely small distance).So you need the dx because otherwise you aren't summing up rectangles and your answer wouldn't be total area.dx literally means "an infinitely small width of x".
Questo, naturalmente, si applica specificamente all’integrale definito. Da questa prospettiva, possiamo pensare all’integrale indefinito come se avesse ereditato la stessa notazione attraverso il Teorema Fondamentale del Calcolo, che lega le due cose insieme.
Il differenziale non deve essere alla fine!
Una conseguenza dell’insegnamento agli studenti che il differenziale in un integrale significa solo “… rispetto a x” può essere vista nella seguente domanda, del 2003, su una variazione relativamente insolita nella notazione:
Integral Notation - Missing IntegrandsI have seen some integral notation used that I am not familiar with. It looks like this: / | dx f(x) + .../There does not seem to be an integrand (i.e. a function being integrated). I'm not sure if f(x) is to be integrated. I have two theories, but I can't see the point in writing the expression as it is if either of my theories is correct.My theories about what this might mean:1) The above notation is the same as writing: / | 1 dx f(x) + ... (note the explicit 1 here)/=(x + C) * f(x) + ... (where C is a constant of integration)2) The rest of the expression is to be integrated with respect to x.If (1) is correct, then what was the point of writing the integral - why wasn't (x + C) just written instead? If (2) is correct, then how does one know when to "stop integrating" (i.e. if there is some term to be added on to the expression that is not to be integrated, how is it distinguished?).I have seen this recently in multi-variate calculus, i.e. when x is in R^n rather than R: does this situation justify the use of the integral notation somehow?
La prima ipotesi di Chris è che la dx chiude l’integrale, per cui ciò che segue deve essere moltiplicato; la seconda (che è corretta) è che non importa dove la dx è posta.
Ha ragione che questa notazione è particolarmente comune nel calcolo con più di una variabile. Si potrebbe scrivere, per esempio, $\int_0^b dy\int_0^a dx f(x,y)$ o $\int_0^b dy\int_0^a f(x,y) dx$ piuttosto che $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy$ per indicare che dobbiamo integrare prima rispetto a x, e poi integrare il risultato rispetto a y. Un vantaggio è che rende più facile vedere quali limiti vanno con quale variabile.
Ho risposto:
Hi, Chris.It is common to learn about integration in such a way that the "dx" seems to be a marker for the end of the integral, as if the "long S" were a left parenthesis and the "dx" were the right parenthesis. But it doesn't work that way. In fact, what you are integrating is the product of a function and dx; and multiplication is commutative! So these mean the same thing: / / | f(x) dx and | dx f(x) / /If you then add something, you must use parentheses if it is to be part of the integral: / / | dx f(x) + g(x) = + g(x) / /is the sum of an integral and a function, while / / | dx (f(x) + g(x)) = | (f(x) + g(x)) dx / /is the integral of the sum of two functions.That is, presumably the integral has higher precedence than addition, so you "stop integrating" at the first plus sign. But even then, I'm not positive that this rule I just made up is always followed; let me know if you think it doesn't fit the practice in your text, and show me an example.
Vedere il differenziale come parte di un prodotto è necessario per capire la notazione. Questo può essere fatto sia che si pensi a dx come una semplice notazione, in modo che il “prodotto” sia illusorio come il “quoziente” in una derivata, sia che si pensi esplicitamente alla somma di Riemann.
Non vedo le mie idee sulle parentesi seguite universalmente; non è raro vedere \(\int x^2-2x+3 dx\) piuttosto che \(\int (x^2-2x+3) dx\). Questo è probabilmente dovuto all’uso comune del differenziale per terminare l’integrale, e al fatto che non avrebbe senso prendere il dx come associato solo all’ultimo termine, nonostante il solito ordine delle operazioni. Questo lassismo può essere trasferito negli integrali in cui dx è scritto per primo, anche se l’ambiguità è molto maggiore. Troppo spesso, come in alcuni altri aspetti dell’ordine delle operazioni, alla fine si deve solo riconoscere quale interpretazione ha senso nel contesto.
Nella scrittura di questo, mi è venuto in mente che il mio riferimento alla commutatività non è del tutto valido, in particolare quando si tratta di integrali definiti. I seguenti non sono la stessa cosa: $\int_0^b\int_0^a f(x,y)dx dy\int_0^b\int_0^a f(x,y)dy$
Questo perché l’ordine dei differenziali determina il significato dei limiti di integrazione. Tutto ciò che riguarda la notazione del calcolo è un po’ scivoloso.
Chris ha risposto,
Doctor Peterson,Thank you for your quick and helpful reply.I was indeed taught that integration begins with the "long S" and ends with the (for example) dx.I have, however, seen the following notation: / | dx | ------------ | f(x) + g(x)/and assumed it was a convenient notation rather than being a justifiable mathematical expression.Perhaps I need to go and look at calculus from first principles again to see why this is the case.
Questa è una notazione conveniente e giustificabile! Di nuovo, stiamo pensando al dx come moltiplicato per una frazione, e quindi equivalente a parte del numeratore.
Un esempio particolarmente buono dell’utilità del differenziale in un integrale indefinito si presenta nel metodo di sostituzione, dove possiamo sostituire il dx con un’espressione che effettivamente moltiplichiamo:
Why Does Integration by Substitution Work?
Ho guardato quella pagina nel post Integrazione per sostituzione.