Consideriamo la condizione di sollecitazione bidimensionale dove le sollecitazioni sono σx, σy e τxy.Abbiamo, per un’altra serie di assi ortogonali x’-y’ ad angolo θ con x-y, le sollecitazioni sono
σ x ′ = σ x + σ y 2 + σ x – σ y 2 cos 2 θ + τ sin 2 θ {displaystyle \sigma _{x’}={frac {sigma _{x}+sigma _{y}{2}}+{\frac {sigma _{x}-\sigma _{y}{2}}cos 2\theta +\tau \sin 2\theta }
τ x ′ y ′ = – σ x – σ y 2 sin 2 θ + τ x y cos 2 θ {\displaystyle \tau _{x’y’}=-{\frac {sigma _{x}- {sigma _{y}}{2}}sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }
Dalle equazioni di cui sopra, possiamo vedere che per qualsiasi stato di sollecitazione dato da σx, σy e τxy, possiamo trovare un valore di θ tale che il valore di σx’ sia massimo.Questo valore è chiamato stress principale σ1 (per il massimo) o σ2 (per il minimo).
Le sollecitazioni principali sono date da
σ 1 , 2 = σ x + σ y 2 ± ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \sigma _{1,2}={frac {sigma _{x}+sigma _{y}{2}}pm {sqrt {sigma _{x}–sigma _{y}} destra)^{2}+tau _{xy}^{2}}}}
e la sollecitazione massima di taglio è data da
τmax = (σ1 – σ2)/2
Dalle definizioni di σx’ e τx’y’, abbiamo
( σ x ′ – σ x + σ y 2 ) 2 + τ x ′ y ′ 2 = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \left(\sigma _{x’}-{\frac {sigma _{x}+sigma _{y}} a destra)^{2}+\tau _{x’y’}^{2}=sinistra({\frac {sigma _{x}-{y} a destra)^{2}+tau _{xy}^{2}
Nel grafico σ-τ, questo è un cerchio con centro sull’asse x, e la distanza del centro dall’origine è data da (σx + σy)/2 e un raggio dato da
R = ( σ x – σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {displaystyle R={sqrt {left({\frac {{sigma _{x}-{sigma _{y}}{2}}destra)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}
Questo cerchio è noto come cerchio di Mohr, ed è utile per visualizzare lo stato di stress in un punto.
La figura qui sopra mostra il cerchio di Mohr per uno stato di stress (σ, τ).Il centro e il raggio del cerchio si ottengono dalle equazioni indicate sopra.L’altra sollecitazione σy può essere letta dal punto diametralmente opposto al punto (σ, τ).La sollecitazione in qualsiasi piano può essere trovata usando semplici costrutti geometrici.
Cerchio di Mohr per casi comuniModifica
