Il Teorema AAS (Angolo-Angolo-Lato)
La matematica è una scienza pura, quindi non si viene quasi mai fermati per strada e sfidati a verificare la congruenza di due triangoli. Se lo foste, però, potreste verificare la congruenza dei triangoli in cinque modi. Conoscere il maggior numero possibile di metodi vi aiuta, dandovi la flessibilità necessaria per affrontare qualsiasi situazione, sia che siate fermati per strada o bloccati in classe. Questo metodo è il Teorema Angolo Lato, o Teorema AAS.
- Definizione del Teorema AAS
Provare i triangoli congruenti
Cinque metodi esistono per verificare la congruenza nei triangoli, anche se uno è limitato all’uso con i triangoli retti. Ecco tutti e cinque:
- Lato Lato Lato — SSS
- Lato Angolo Lato — SAS
- Angolo Lato Angolo — ASA
- Lega Ipotenusa — HL Riservato ai triangoli rettangoli
- Lato Angolo Lato — AAS Ehi! Questo è quello a cui siamo arrivati!
In altre lezioni abbiamo illustrato gli altri metodi, e no, non abbiamo semplicemente riarrangiato a caso “Angolo” e “Lato” in tutti i modi che ci venivano in mente. Notate, per esempio, che non potete trovare Angolo Angolo Angolo come prova di congruenza (quella è riservata alla similitudine), né potete cucinare un postulato Lato Lato Angolo.
Qualunque termine vediate inserito tra gli altri, quella parte è inclusa. Un angolo o un lato incluso è fisicamente tra gli altri nel triangolo. Così Side Angle Side (SAS) significa un lato, l’angolo vicino a quel lato, e poi il lato vicino a quell’angolo. Quel lato è là fuori, tutto solo, non tra gli angoli.
Per ogni metodo di prova, state controllando le tre parti identificate tra i due triangoli. Se le parti corrispondenti sono congruenti per quelle tre parti, i due triangoli sono congruenti. Questi metodi di verifica o prove ti permettono di stabilire la congruenza controllando solo la metà delle parti (da tre possibili lati e tre possibili angoli).
Teorema AAS
Il tuo libro di testo probabilmente lo chiama teorema, o potrebbe essere etichettato come postulato; non preoccuparti! Tieni a mente il concetto, non le parole pignole, mentre cerchi di dimostrare la congruenza dei triangoli.
Definizione del teorema AAS
Nota come si dice “lato non incluso”, cioè si prendono due angoli consecutivi e poi si passa al lato successivo (in entrambe le direzioni). Non si prende il lato tra questi due angoli! (Se lo facessi, useresti il postulato ASA).
Per dimostrarlo con triangoli reali, qui sotto presentiamo con orgoglio △GUM e △RED.
Sono congruenti? Notate i piccoli tratteggi che indicano tutte le congruenze, che in stenografia matematica usano il simbolo ≅.
Le parti congruenti sono:
- ∠G ≅ ∠R
- ∠M ≅ ∠D
- Lato GU ≅ Lato RE
Da questi triangoli sappiamo che due angoli interni sono congruenti (e consecutivi, o vicini), ma non sappiamo nulla del lato tra loro. Invece, in modo apparentemente inutile, apprendiamo che un altro lato è congruente.
Andando attraverso la nostra cassetta degli attrezzi piena di metodi di verifica della congruenza dei triangoli, possiamo provarli tutti:
- Side Side Side Side (SSS) — Non funzionerà, perché non conosciamo tutti e tre i lati
- Side Angle Side (SAS) — Neanche questo funzionerà, perché conosciamo due angoli, non due lati
- Angle Side Angle (ASA) — Questo all’inizio sembra promettente, ma il lato che conosciamo non è un lato incluso; sta sporgendo là fuori, oltre uno dei due angoli noti
- Lega ipotenusa (HL) — Scordatelo! Questo è riservato ai triangoli rettangoli, che noi non abbiamo
- Lato angolare (AAS) — Questo è il biglietto! Questo è quello (l’unico) che possiamo usare!
Perché il teorema AAS funziona?
Presto, a cosa sommano gli angoli interni di tutti i triangoli?
Speriamo che tu abbia detto 180°, perché questa è la risposta corretta. Se conosci due angoli di un triangolo, allora conosci tre angoli di un triangolo. Questa non è magia; è matematica:
Solvendo per ∠U si ottengono ora due angoli con un lato incluso. Avete visto? Abbiamo fatto un giro intorno a quel lato che stava lì fuori, tutto solo, e l’abbiamo messo tra due angoli identificati, ∠G e ∠U. Così, dove una volta avevamo AAS, abbiamo girato intorno al triangolo e l’abbiamo trasformato in ASA, che è già un postulato.
Se due angoli e il loro lato incluso di un triangolo sono tutti congruenti a due angoli corrispondenti e al loro lato incluso di un altro triangolo, i due triangoli sono congruenti.
Esempio del teorema AAS
Qui offriamo due nuovi triangoli, △LEG e △ARM. Notate tutti i piccoli tratteggi che indicano angoli e lati congruenti:
∠L ≅ ∠A
∠E ≅ ∠R
Lato LG ≅ Lato AM
Sapendo che gli angoli interni sono congruenti come indicato, che altro sapete?
Speriamo che tu abbia detto che ∠G ≅ ∠M, perché:
- 180° – ∠L – ∠E = ∠G
- 180° – ∠A – ∠R = ∠M
- ∠G ≅ ∠M
Cosa ti permette di fare ora? Schierare ASA e dichiarare i due triangoli congruenti, poiché:
∠L ≅ ∠A
Lato LG ≅ Lato AM
∠G ≅ ∠M
Cosa fanno i veri geometri
Non c’è bisogno di provare la congruenza del terzo angolo e poi schierare ASA, poiché abbiamo, pronto e in attesa, il Teorema AAS. Quindi i veri matematici e geometri saltano direttamente all’AAS e dichiarano i due triangoli congruenti.
Se dovete spiegare questo teorema a un altro studente, amico o sconosciuto per strada, non potete fare il salto da due angoli al misterioso terzo angolo senza qualche spiegazione. Allora potrebbe essere necessario spiegare come stiamo essenzialmente rinunciando a uno dei nostri angoli originali in favore del terzo angolo.
È questo spostamento mentale, da un angolo dato al terzo angolo appena identificato, che permette di attingere al fantastico potere di ASA e raccogliere il nostro lato precedentemente fuori dalla prova.
Infine, dopo aver accompagnato il tuo amico attraverso questi passi, colpiscilo con l’efficienza e il potere ancora più impressionante dell’AAS, dove due angoli qualsiasi e un lato non incluso possono essere usati per identificare la congruenza tra triangoli. Impressionante, vero?
Riassunto della lezione
Ora che hai armeggiato con i triangoli e hai studiato questi appunti, sei in grado di ricordare e applicare il Teorema Angolo Lato (AAS), conoscere i momenti giusti per applicare l’AAS, fare il collegamento tra AAS e ASA, e (forse più utile di tutti) spiegare a qualcun altro come l’AAS aiuta a determinare la congruenza nei triangoli.
Successiva lezione:
Teorema di AAS