Esempio
Prova a misurare il diametro di una palla da tennis usando il metro. Qual è l’incertezza di questa misura?
Anche se il metro può essere letto con la precisione di 0,1 cm, probabilmente non puoi determinare il diametro con la precisione di 0,1 cm.
- Quali fattori limitano la tua capacità di determinare il diametro della palla?
- Qual è una stima più realistica dell’incertezza nella tua misura del diametro della palla?
Risposte: È difficile allineare il bordo della palla con i segni sul righello e la foto è sfocata. Anche se ci sono segni sul righello per ogni 0,1 cm, solo i segni a ogni 0,5 cm appaiono chiaramente. Immagino di poter misurare in modo affidabile dove si trova il bordo della pallina da tennis fino a circa la metà di uno di questi segni, o circa 0,2 cm. Il bordo sinistro è a circa 50,2 cm e il bordo destro è a circa 56,5 cm, quindi il diametro della palla è di circa 6,3 cm ± 0,2 cm.
Un altro esempio
Prova a determinare lo spessore di una custodia di CD da questa immagine.
- Come puoi ottenere la misura più precisa dello spessore di una singola custodia di CD da questa immagine? (Anche se il righello è sfocato, puoi determinare lo spessore di una singola custodia con un margine di errore inferiore a 0,1 cm)
- Usa il metodo che hai appena descritto per determinare lo spessore di una singola custodia (e l’incertezza di tale misurazione)
- Quali ipotesi implicite stai facendo sulle custodie dei CD?
Risposte: Il modo migliore per fare la misurazione è misurare lo spessore della pila e dividere per il numero di custodie nella pila. In questo modo, l’incertezza della misurazione è distribuita su tutte le 36 casse di CD. È difficile leggere il righello nella foto più vicino di circa 0,2 cm (vedi esempio precedente). La pila inizia a circa 16,5 cm e finisce a circa 54,5 cm, quindi la pila è lunga circa 38,0 cm ± 0,2 cm. Dividi la lunghezza della pila per il numero di custodie di CD nella pila (36) per ottenere lo spessore di una singola custodia: 1,056 cm ± 0,006 cm. “Distribuendo” l’incertezza su tutta la pila di casse, si può ottenere una misura che è più precisa di quella che può essere determinata misurando solo una delle casse con lo stesso righello. Stiamo assumendo che tutte le casse abbiano lo stesso spessore e che non ci sia spazio tra una cassa e l’altra.
Stimare l’incertezza da misure multiple
Un modo per aumentare la fiducia nei dati sperimentali è ripetere la stessa misura molte volte. Per esempio, un modo per stimare la quantità di tempo che impiega qualcosa ad accadere è semplicemente cronometrare una volta con un cronometro. Puoi diminuire l’incertezza di questa stima facendo questa stessa misurazione più volte e prendendo la media. Più misurazioni si fanno (sempre che non ci siano problemi con l’orologio!), migliore sarà la stima.
Fare misure multiple ti permette anche di stimare meglio l’incertezza delle tue misure controllando quanto sono riproducibili le misure. La precisione della tua stima del tempo dipende dalla diffusione delle misure (spesso misurata con una statistica chiamata deviazione standard) e dal numero (N) di misurazioni ripetute che fai.
Considera il seguente esempio: Maria ha cronometrato il tempo che impiega una palla d’acciaio a cadere dalla cima di un tavolo al pavimento usando lo stesso cronometro. Ha ottenuto i seguenti dati:
0.32 s, 0.54 s, 0.44 s, 0.29 s, 0.48 s
Prendendo cinque misure, Maria ha diminuito significativamente l’incertezza nella misura del tempo. Maria ha anche una stima grezza dell’incertezza nei suoi dati; è molto probabile che il “vero” tempo che impiega la palla a cadere sia da qualche parte tra 0,29 s e 0,54 s. La statistica è necessaria per ottenere una stima più sofisticata dell’incertezza.
Alcuni concetti statistici
Quando si tratta di misure ripetute, ci sono tre importanti quantità statistiche: media (o media), deviazione standard ed errore standard. Queste sono riassunte nella tabella qui sotto:
| Statistica | Cos’è | Interpretazione statistica | Simbolo |
| media | una stima del “vero” valore della misurazione | il valore centrale | xave |
| deviazione standard | una misura della “diffusione” nei dati | Si può essere ragionevolmente sicuri (circa il 70%) che se si ripete la stessa misurazione un’altra volta, la prossima misurazione sarà meno di una deviazione standard dalla media. | s |
| Errore standard | una stima dell’incertezza nella media delle misurazioni | Si può essere ragionevolmente sicuri (circa il 70%) che se si ripete l’intero esperimento con lo stesso numero di ripetizioni, il valore medio del nuovo esperimento sarà a meno di un errore standard dal valore medio di questo esperimento. | SE |
I dati di Maria rivisitati
Le statistiche per i dati del cronometro di Maria sono riportate di seguito:
- xave = 0.41 s
- s = 0.11 s
- SE = 0.05 s
È abbastanza chiaro il significato della media, ma cosa dicono le altre statistiche sui dati di Maria? Se Maria cronometra di nuovo la caduta dell’oggetto, c’è una buona probabilità (circa il 70%) che la lettura del cronometro che otterrà sarà entro una deviazione standard della media. In altre parole, la prossima volta che misurerà il tempo della caduta c’è circa il 70% di possibilità che la lettura del cronometro che otterrà sarà tra (0,41 s – 0,11 s) e (0,41 s + 0,11 s).
Calcolare le statistiche usando Excel
I programmi per fogli di calcolo (come Microsoft Excel) possono calcolare le statistiche facilmente. Una volta che hai i dati in Excel, puoi usare il pacchetto di statistiche integrato per calcolare la media e la deviazione standard.
Per calcolare la media delle celle da A4 a A8:
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| Per calcolare la deviazione standard dei cinque numeri, utilizzare la funzione integrata STDEV di Excel. |  |
| Excel non ha una funzione di errore standard, quindi è necessario utilizzare la formula per l’errore standard:
dove N è il numero di osservazioni |
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Incertezza nei calcoli
Cosa succede se si vuole determinare l’incertezza di una quantità che è stata calcolata da una o più misure? Ci sono metodi complicati e meno complicati per farlo. Per questo corso, useremo quello semplice. Il metodo Upper-Lower Bounds dell’incertezza nei calcoli non è formalmente corretto, ma va bene. L’idea di base di questo metodo è di usare gli intervalli di incertezza di ogni variabile per calcolare i valori massimi e minimi della funzione. Si può anche pensare a questa procedura come all’estrazione dei casi migliori e peggiori. Per esempio, se volete trovare l’area di un quadrato e misurate un lato come una lunghezza di 1,2 +/- 0,2 m e l’altra lunghezza come 1,3 +/- 0,3 metri, allora l’area sarebbe: