È possibile far risalire l’origine della parola “ratio” al greco antico λόγος (logos). I primi traduttori lo resero in latino come ratio (“ragione”; come nella parola “razionale”). Un’interpretazione più moderna del significato di Euclide è più simile al calcolo o al calcolo. Gli scrittori medievali usavano la parola proportio (“proporzione”) per indicare il rapporto e proportionalitas (“proporzionalità”) per l’uguaglianza dei rapporti.
Euclide raccolse i risultati che appaiono negli Elementi da fonti precedenti. I Pitagorici svilupparono una teoria del rapporto e della proporzione applicata ai numeri. La concezione pitagorica del numero includeva solo quelli che oggi si chiamerebbero numeri razionali, mettendo in dubbio la validità della teoria in geometria dove, come scoprirono anche i pitagorici, esistono rapporti incommensurabili (corrispondenti ai numeri irrazionali). La scoperta di una teoria dei rapporti che non presuppone la commensurabilità è probabilmente dovuta a Eudosso di Cnido. L’esposizione della teoria delle proporzioni che appare nel libro VII degli Elementi riflette la precedente teoria dei rapporti di commensurabilità.
L’esistenza di più teorie sembra inutilmente complessa poiché i rapporti sono, in larga misura, identificati con i quozienti e i loro valori prospettici. Tuttavia, questo è uno sviluppo relativamente recente, come si può vedere dal fatto che i moderni libri di testo di geometria usano ancora una terminologia e una notazione distinte per rapporti e quozienti. Le ragioni di questo sono due: in primo luogo, c’era la già menzionata riluttanza ad accettare i numeri irrazionali come veri numeri, e in secondo luogo, la mancanza di un simbolismo ampiamente utilizzato per sostituire la terminologia già stabilita dei rapporti ha ritardato la piena accettazione delle frazioni come alternativa fino al 16° secolo.
Le definizioni di EuclideEdit
Il libro V degli Elementi di Euclide ha 18 definizioni, tutte relative ai rapporti. Inoltre, Euclide usa idee che erano di uso così comune che non ha incluso definizioni per loro. Le prime due definizioni dicono che una parte di una quantità è un’altra quantità che la “misura” e, viceversa, un multiplo di una quantità è un’altra quantità che misura. Nella terminologia moderna, questo significa che un multiplo di una quantità è quella quantità moltiplicata per un intero maggiore di uno e una parte di una quantità (che significa parte aliquota) è una parte che, quando moltiplicata per un intero maggiore di uno, dà la quantità.
Euclide non definisce il termine “misura” come usato qui, Tuttavia, si può dedurre che se una quantità è presa come unità di misura, e una seconda quantità è data come un numero integrale di queste unità, allora la prima quantità misura la seconda. Queste definizioni sono ripetute, quasi parola per parola, come definizioni 3 e 5 nel libro VII.
La definizione 3 descrive cos’è un rapporto in modo generale. Non è rigorosa in senso matematico e alcuni l’hanno attribuita ai redattori di Euclide piuttosto che a Euclide stesso. Euclide definisce un rapporto tra due quantità dello stesso tipo, quindi con questa definizione sono definiti i rapporti di due lunghezze o di due aree, ma non il rapporto tra una lunghezza e un’area. La definizione 4 rende questo più rigoroso. Essa afferma che esiste un rapporto tra due quantità, quando esiste un multiplo di ciascuna che supera l’altra. In notazione moderna, esiste un rapporto tra le quantità p e q, se esistono numeri interi m e n tali che mp>q e nq>p. Questa condizione è nota come proprietà di Archimede.
La definizione 5 è la più complessa e difficile. Definisce cosa significa che due rapporti siano uguali. Oggi, questo può essere fatto semplicemente affermando che i rapporti sono uguali quando i quozienti dei termini sono uguali, ma una tale definizione sarebbe stata senza senso per Euclide. In notazione moderna, la definizione di Euclide di uguaglianza è che date le quantità p, q, r e s, p∶q∷r ∶s se e solo se, per qualsiasi numero intero positivo m e n, np<mq, np=mq, o np>mq secondo nr<ms, nr=ms, o nr>ms, rispettivamente. Questa definizione ha affinità con i tagli di Dedekind poiché, con n e q entrambi positivi, np sta a mq come p/q sta al numero razionale m/n (dividendo entrambi i termini per nq).
La definizione 6 dice che quantità che hanno lo stesso rapporto sono proporzionali o in proporzione. Euclide usa il greco ἀναλόγον (analogon), che ha la stessa radice di λόγος ed è legato alla parola inglese “analog”.
La definizione 7 definisce cosa significa che un rapporto è minore o maggiore di un altro e si basa sulle idee presenti nella definizione 5. In notazione moderna dice che date le quantità p, q, r e s, p∶q>r∶s se ci sono m e n interi positivi in modo che np>mq e nr≤ms.
Come la definizione 3, la definizione 8 è considerata da alcuni un inserimento successivo da parte degli editori di Euclide. Essa definisce tre termini p, q e r come proporzionali quando p∶q∷q∶r. Questo è esteso a 4 termini p, q, r e s come p∶q∷q∶r∷r∶s, e così via. Le sequenze che hanno la proprietà che i rapporti dei termini consecutivi sono uguali sono chiamate progressioni geometriche. Le definizioni 9 e 10 applicano questo, dicendo che se p, q e r sono in proporzione allora p∶r è il rapporto duplicato di p∶q e se p, q, r e s sono in proporzione allora p∶s è il rapporto triplicato di p∶q.