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Risolvere equazioni
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Equazione lineare in due variabili
Un’equazione lineare in due variabili, x e y, può essere scritta nella forma
ax + by = c
dove x e y sono numeri reali e a e b non sono entrambi zero.
Per esempio, 3x + 2y = 8 è un’equazione lineare in due variabili.
Una soluzione di tale equazione è una coppia ordinata di numeri (x, y) che rende vera l’equazione quando i valori di x e y sono sostituiti nell’equazione.
Per esempio, sia (2, 1) che (0, 4) sono soluzioni dell’equazione ma (2, 0) non è una soluzione. Un’equazione lineare in due variabili ha un numero infinito di soluzioni.
Il seguente video mostra come completare le coppie ordinate per ottenere una soluzione delle equazioni lineari.
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Equazioni simultanee
Se è data un’altra equazione lineare nelle stesse variabili, è solitamente possibile trovare una soluzione unica di entrambe le equazioni. Due equazioni con le stesse variabili sono chiamate un sistema di equazioni, e le equazioni del sistema sono chiamate equazioni simultanee. Risolvere un sistema di due equazioni significa trovare una coppia ordinata di numeri che soddisfa entrambe le equazioni del sistema.
Ci sono due metodi di base per risolvere i sistemi di equazioni lineari, per sostituzione o per eliminazione.
Metodo della sostituzione
Nel metodo della sostituzione, un’equazione viene manipolata per esprimere una variabile in termini dell’altra. Poi l’espressione viene sostituita nell’altra equazione.
Per esempio, per risolvere il sistema di equazioni
3x + 2y = 2
y + 8 = 3x
Isolate la variabile y nell’equazione y + 8 = 3x per ottenere y = 3x – 8.
Poi, sostituite 3x – 8 per y nell’equazione 3x + 2y = 2.
3x + 2 (3x – 8) = 2
3x + 6x – 16 = 2
9x – 16 = 2
9x = 18
Sostituire x = 2 in y = 3x – 8.per ottenere il valore di y
y = 3 (2) – 8
y = 6 – 8 = – 2
Risposta: x = 2 e y = -2
Come risolvere equazioni simultanee usando la sostituzione?
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Metodo dell’eliminazione
Nel metodo dell’eliminazione, l’obiettivo è rendere i coefficienti di una variabile uguali in entrambe le equazioni in modo che una variabile possa essere eliminata o sommando le equazioni o sottraendo una all’altra.
Considera il seguente esempio:
2x + 3y = -2 4x – 3y = 14
In questo esempio i coefficienti di y sono già opposti (+3 e -3). Basta aggiungere le due equazioni per eliminare y.
6x = 12
Per ottenere il valore di y, dobbiamo sostituire x = 2 nell’equazione 2x + 3y = -2
2(2) + 3y = -2
4 + 3y = -2
3y = -6
y = -2
Risposta: x = 2 e y = -2
Come risolvere le equazioni simultanee usando il metodo di sostituzione e il metodo di eliminazione (o combinazione)
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Esempio del GRE Domanda di confronto quantitativo che coinvolge equazioni simultanee
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Come risolvere equazioni simultanee (lineari) lineari con il metodo di eliminazione?
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