Exact ValueEdit
統計的に独立したn個のサンプル(displaystyle n})が存在する場合。
観測値 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}。
観測値 x 1 , x 2 , … , x n {displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}} は標準偏差 σ {\sigma } の統計的母集団から取られる。
とすると，標本xから計算された平均値は，¯ {\bar {x}}となる。
とすると，平均値の標準誤差σ x ¯ {displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}}が発生します。
は次のように与えられる：σ x ¯ = σ n {\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ ={frac {\sigma }_{sqrt {n}}}}
.
実用的には、母平均の値を推定しようとすると、1 / n {\\\}}という係数によって、母平均の値を推定することができます。
, 推定値の誤差を2倍にするには、サンプルの4倍の観測値を取得する必要があり、10倍にするには100倍の観測値が必要になります。
EstimateEdit
標準偏差σ{\ sigma }。
サンプリングされる母集団の標準偏差がわかることはほとんどありません。 そのため，平均の標準誤差は，通常，σ {\\ sigma } に置き換えて推定します。
を標本標準偏差σ x {displaystyle ˶ sigma _{x}}に置き換えて推定します。
代わりに: σ x ¯ ≈ σ x n {displaystyle {\bar {x}}\ approx {\frac {sigma _{x}}{\sqrt {n}}}}
または、 s x ¯ = s n {\\\\\\}\ ={frac} {s}{}{sqrt}n}}}}
.
母集団の標準偏差（σ {displaystyle ″sigma″）を明確に区別しないと混乱することがよくあります。
）、標本の標準偏差（σ x {displaystyle ˶ sigma _{x}}）。
）、平均そのものの標準偏差（σ x ¯ {\sigma _{bar {x}}}）。
これが標準誤差である）と，平均の標準偏差の推定量（σ x ¯ ^ {🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇🙇）とがある。
} , これは最もよく計算される量であり，俗に標準誤差と呼ばれることも多い。
推定量の精度
サンプルサイズが小さい場合、母集団の真の標準偏差の代わりにサンプルの標準偏差を使用すると、母集団の標準偏差を系統的に過小評価する傾向があり、したがって標準誤差も過小評価されます。 n = 2の場合、過小評価は約25%ですが、n = 6の場合、過小評価はわずか5%です。 GurlandとTripathi (1971)は、この効果を補正して式で表しています。 Sokal and Rohlf (1981)は、nの小サンプルに対する補正係数の式を示しています < 20.
DerivationEdit
平均の標準誤差は、分散の定義とその簡単な性質が与えられれば、独立した確率変数の和の分散から導き出すことができます。 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}}の場合。
は n {displaystyle n} である。
平均値x ¯ {\\\ {x}}の母集団からの独立した観測値である。
と標準偏差σ{displaystyle ˶ sigma }の母集団からの独立した観測値。
とすると、全体 T = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) {\displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}と定義できます。
これはビエマイメの公式により、分散を持つことになります
Var ( T ) = ( Var ( x 1 ) + Var ( x 2 ) + ⋯ + Var ( x n ) ) = n σ 2 . Var ( T ) = ( Var ( x 1 ) + Var ( x 2 ) + ⋯ + Var ( x n ) ) = n σ 2. (T)={\\{Var}(T) (x_{1})+\\(Var) (x_{2})+CDots +\\ (Var}) (x_{n}){\big )}=n\sigma ^{2}.}.
これらの測定値の平均値 x ¯ {displaystyle {\bar {x}}}です。}
は、単純に x ¯ = T / n {displaystyle {\bar {x}}=T/n} で与えられます。
.
平均値の分散は次のようになります
Var ( T n ) = 1 n 2 Var ( T ) = 1 n 2 n σ 2 = σ 2 n . Var \左(T}{n})右(Var)={\frac {1}{n^{2}}}}\operatorname {Var}。 (T)={\\^{2}}n\\^{2}={\\^{2}}{n}.}。
\♪♪♪♪♪♪♪♪♪ (T)={\\}{n^{2}}n\sigma ^{2}={\\\}{n}}.}標準誤差は、定義上、xの標準偏差¯{displaystyle {\}{x}}}です。
これは単に分散の平方根である。 σ x ¯ = σ 2 n = σ n {\\bar {x}}={\sqrt {\sigma ^{2}}{n}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
.
独立同分布確率変数のランダムな標本サイズ編集
ある基準に照らして、何個の観測値が許容されるかを事前に知らずに、標本を採取する場合があります。 このような場合のサンプルサイズはNとなります。
は，その変動がX{\\}の変動に加わる確率変数であり，Var ( T ) = E ( N ) Var ( X ) + Var ( N ) ( E ( X ) ) 2 {displaystyle ˶ˆ꒳ˆ˵} {Var} (T) = E ( N ) Var ( X ) + Var ( N ) ( E ( X ) )となる。 (T)= E (Var) (N)になります。 (X)＋(Var)- (N){big }\\\ (X){\big }^{2}}。
If N {displaystyle N}.
がポアソン分布を持つとき、E ( N ) = Var ( N ) {\operatorname {E} (N)=\operatorname E} (N)=Var}となる。 (N)}
推定量 N = n {\displaystyle N=n}である。
したがって、Var ( T ) の estimator {\displaystyle 婮operatorname {Var} (T)}
。 (T)}
は、n S X 2 + n X ¯ 2 {\displaystyle nS_{X}^{2}+n{\\ {X}}^{2}}となります。
となり、標準誤差は以下の式となる。 S t a n d a r d E r r o r ( X ¯ ) = S X 2 + X ¯ 2 n {\\\\\\} {Standard~Error}。 ({bar {X}})={\frac {S_{X}^{2}+{\bar {X}}^{2}}{n}}}}
