「比率」という言葉の起源は、古代ギリシャ語のλόγος(logos)にあると考えられています。 初期の翻訳者は、これをラテン語で ratio（理性）と表現しました（「rational」という言葉があるように）。 ユークリッドの意味をより現代的に解釈すると、「計算」や「計り売り」に近いものがあります。
ユークリッドは『元素』に現れた結果を、それ以前の資料から集めました。
ユークリッドは『元素』に登場する結果を、それ以前の資料から集めました。
ユークリッドは、『元素』に登場する結果を、それ以前の資料から収集しました。 可換性を前提としない比の理論を発見したのは、おそらくクニドゥスのエウドクサスであろう。
比率は、かなりの部分、商やその見込み値と同一視されているので、複数の理論の存在は不必要に複雑に見えます。 しかし、これは比較的最近のことで、現代の幾何学の教科書では、いまだに比と商のために別の用語や表記が使われていることからもわかります。
ユークリッドの定義 編集
ユークリッドの『元素』の第5巻には18の定義があり、そのすべてが比に関連しています。 また、ユークリッドは、定義を付けないほど一般的に使用されていたアイデアを使用しています。 最初の2つの定義は、ある量の一部はそれを「測る」別の量であり、逆にある量の倍数はそれを測る別の量であるというものです。
ユークリッドは、ここで使われている「測る」という言葉を定義していませんが、ある量を測定の単位とし、その単位の整数として第二の量を与えれば、第一の量は第二の量を測ることができると推測することができます。
定義 3 は、比率とは何かを一般的な方法で説明しています。
定義3は、比とは何かを一般的に説明したものですが、数学的な意味での厳密さはなく、ユークリッド自身ではなく、ユークリッドの編集者によるものだとする説もあります。 ユークリッドは比を同じ種類の2つの量の間のものと定義しているので、この定義では、2つの長さの比や2つの面積の比は定義されているが、長さと面積の比は定義されていない。 これをより厳密にしたのが定義4である。 2つの量の比が存在するとは、それぞれの量の倍数が他方の量を超えるときである。 現代的な表記では、mpqとnqpとなるような整数mとnが存在すれば、量pとqの間に比が存在することになります。 この条件はアルキメデスの性質として知られています。
定義5は最も複雑で難しいものです。 この定義では、2つの比率が等しいとはどういうことかを定義しています。 今日では、単に「項の商が等しいとき、比は等しい」と言えばよいのですが、このような定義はユークリッドにとっては意味のないものでした。 ユークリッドの等式の定義を現代風に言うと、「量p、q、r、sが与えられたとき、任意の正の整数m、nに対して、p∶q∷r∶sである。 np<mq, np=mq, np>mqが、それぞれnr<ms, nr=ms, nr>msであるとする。
定義6では、同じ比を持つ量は比例する、あるいは比例しているとしている。
定義7は、ある比が他の比より小さい、または大きいとはどういうことかを定義するもので、定義5にある考え方に基づいています。
定義3と同様に、定義8はユークリッドの編集者が後に挿入したものだと考える人もいます。 この定義では、3つの項p、q、rが比例しているとき、p∶q∷q∶rと定義している。 これを4つの項p、q、r、sに拡張すると、p∶q∶r∶s、となる。 このように、連続する項の比が等しいという性質を持つ数列を幾何学的な数列といいます。 定義9、10はこれを応用したもので、p、q、rが比例していればp∶rはp∶qの重複比、p、q、r、sが比例していればp∶sはp∶qの3倍比であるとしている。