1.1: A radiação de corpo negro não pode ser explicada classicamente

Objectivos de aprendizagem

Um fenómeno experimental que não podia ser adequadamente explicado pela física clássica era a radiação de corpo negro. Os objectivos para esta secção incluem

  • Estar familiarizado com radiadores de corpo negro
  • Aplicar a Lei Stefan-Boltmann para estimar a saída total de luz de um radiador
  • Aplicar a Lei de Deslocamento de Viena para estimar o comprimento de onda de pico (ou frequência) da saída de um radiador de corpo negro
  • Entender o Rayleigh-Lei de calças de ganga e como não consegue modelar correctamente a radiação de corpo negro

Toda a matéria normal a temperaturas acima de zero absoluto emite radiação electromagnética, que representa uma conversão da energia térmica interna de um corpo em energia electromagnética, e por isso é chamada radiação térmica. Inversamente, toda a matéria normal absorve a radiação electromagnética até certo grau. Um objecto que absorve TODAS as radiações que caem sobre ele, em todos os comprimentos de onda, é chamado de corpo negro. Quando um corpo negro está a uma temperatura uniforme, a sua emissão tem uma distribuição de frequência característica que depende da temperatura. Esta emissão é chamada radiação de corpo negro.

Um corpo negro à temperatura ambiente aparece negro, pois a maior parte da energia que irradia é infravermelha e não pode ser percebida pelo olho humano. Como o olho humano não consegue perceber as ondas de luz a frequências mais baixas, um corpo negro, visto no escuro à temperatura mais baixa, apenas ligeiramente visível, aparece subjectivamente cinzento, ainda que o seu espectro físico objectivo atinja picos na gama do infravermelho. Quando se torna um pouco mais quente, aparece vermelho baço. À medida que a sua temperatura aumenta, torna-se amarelo, branco, e por fim azul-branco.

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Figure {1}(PageIndex{1}): Radiação de corpo negro. Quando aquecidos, todos os objectos emitem radiação electromagnética cujo comprimento de onda (e cor) depende da temperatura do objecto. Um objecto de temperatura relativamente baixa, tal como uma ferradura forjada por um ferreiro, aparece vermelho, enquanto um objecto de temperatura mais alta, tal como a superfície do sol, aparece amarelo ou branco. Imagens usadas com permissão da Wikipedia.

A radiação de corpo negro tem um espectro de frequência característico e contínuo que, experimentalmente, depende apenas da temperatura do corpo. De facto, podemos ser muito mais precisos:

Um corpo emite radiação a uma dada temperatura e frequência exactamente assim como absorve a mesma radiação.

Esta afirmação foi provada por Gustav Kirchhoff: o ponto essencial é que se em vez disso supomos que um determinado corpo pode absorver melhor do que emite, então numa sala cheia de objectos, todos à mesma temperatura, ele absorverá melhor a radiação dos outros corpos do que irradia energia de volta para eles. Isto significa que ficará mais quente, e o resto da sala ficará mais frio, contradizendo a segunda lei da termodinâmica. Assim, um corpo deve emitir radiação exactamente da mesma forma que absorve a mesma radiação a uma dada temperatura e frequência, a fim de não violar a segunda lei da termodinâmica.

Um corpo a qualquer temperatura acima de zero absoluto irradiará até certo ponto, a intensidade e a distribuição de frequência da radiação, dependendo da estrutura detalhada do corpo. Para começar a analisar a radiação de calor, precisamos de ser específicos sobre o corpo a irradiar: o caso mais simples possível é um corpo idealizado que é um absorvedor perfeito, e portanto também (a partir do argumento acima) um emissor perfeito. Então, como construir um absorvedor perfeito no laboratório? Em 1859 Kirchhoff teve uma boa ideia: um pequeno buraco na lateral de uma caixa grande é um excelente absorvedor, uma vez que qualquer radiação que atravesse o buraco salta por dentro, muito sendo absorvida em cada ressalto, e tem poucas hipóteses de voltar a sair. Portanto, podemos fazer isto ao contrário: ter um forno com um pequeno buraco no lado, e presumivelmente a radiação que sai do buraco é tão boa representação de um emissor perfeito como vamos encontrar (Figura 2).

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Figure {2}(PageIndex{2}): O radiador de corpo negro é qualquer objecto que seja um emissor perfeito e um absorvedor perfeito de radiação.

Nos anos 1890, as técnicas experimentais tinham melhorado o suficiente para que fosse possível fazer medições bastante precisas da distribuição de energia da radiação de corpo negro. Em 1895, na Universidade de Berlim, Wien e Lummer fizeram um pequeno buraco na lateral de um forno completamente fechado, e começaram a medir a radiação que saía. O feixe que saía do buraco era passado através de uma grade de difracção, que enviava os diferentes comprimentos de onda/frequências em diferentes direcções, tudo em direcção a um ecrã. Um detector foi movido para cima e para baixo ao longo do ecrã para descobrir quanta energia radiante estava a ser emitida em cada gama de frequências. Encontraram uma curva de intensidade/frequência de radiação próxima das distribuições na Figura \PageIndex{3}}.

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Figure \PageIndex{3}): Representação gráfica da distribuição espectral da radiação do corpo negro a diferentes temperaturas. (CC-SA-BY 3.0; 4C). A Lei de Stefan-Boltmann é observada como o aumento da amplitude de emissão com o aumento da temperatura e a Lei de Deslocamento de Viena é observada como a mudança para um comprimento de onda menor com o aumento da temperatura.

Ao medir as curvas de emissão de corpo negro a diferentes temperaturas (Figura \PageIndex{3}), foram também capazes de construir duas importantes Leis fenomenológicas (i.e, formuladas a partir de observações experimentais, não a partir de princípios básicos da natureza): Lei de Stefan-Boltmann e Lei de Deslocação de Viena.

Nem todos os radiadores são radiadores de corpo negro

A radiação de um radiador de corpo negro é produzida pela actividade térmica do material, não pela natureza do material, nem pela forma como este se excitou termicamente. Alguns exemplos de corpos negros incluem lâmpadas incandescentes, estrelas e tampos de fogão quentes. A emissão aparece como um espectro contínuo (Figura \PageIndex{3}) com múltiplas cores coexistentes. No entanto, nem todos os radiadores são radiadores de corpo negro. Por exemplo, a emissão de uma lâmpada de fluorescência não é uma. O espectro seguinte mostra a distribuição da luz de um tubo de luz fluorescente e é uma mistura de bandas discretas em diferentes comprimentos de onda de luz, em contraste com os espectros contínuos na figura {3}(PageIndex{3}) para radiadores de corpo negro.

Picos de espectro de iluminação fluorescente marcados com picos de cor adicionados.
Espectro de iluminação fluorescente com picos de emissão. Gráfico de Intensidade (contagens) vs. Comprimento de onda (nm) no espectro visível. (CC BY-SA 2.5; Deglr6328 e H Padleckas).

Lâmpadas fluorescentes contêm uma mistura de gases inertes (geralmente argon e néon) juntamente com uma gota de mercúrio a baixa pressão. Uma mistura diferente de cores visíveis mistura-se para produzir uma luz que nos aparece branca com diferentes sombras.

A Lei Stefan-Boltzmann

A primeira conjectura quantitativa baseada em observações experimentais foi a Lei Stefan-Boltzmann (1879) que declara a potência total (ou seja.., integrada sobre todas as frequências emissoras na Figura \PageIndex{3}) irradiada de um metro quadrado de superfície preta vai como a quarta potência da temperatura absoluta (Figura \PageIndex{4}):

p>where

  • (P\) é a quantidade total de radiação emitida por um objecto por metro quadrado (Watts; m^{-2}))
  • li>(^sigma) é uma constante chamada constante Stefan-Boltzman (^(5.67 vezes 10 ^{-8}, Watts\\; m^{-2} K^{-4}})(T\) é a temperatura absoluta do objecto (em K)

A Lei Stefan-Boltzmann é facilmente observada através da comparação do valor integrado (ou seja sob as curvas) da distribuição experimental da radiação do corpo negro na Figura \PageIndex{3}) a diferentes temperaturas. Em 1884, Boltzmann derivou este comportamento da teoria ao aplicar o raciocínio termodinâmico clássico a uma caixa cheia de radiação electromagnética, usando as equações de Maxwell para relacionar a pressão com a densidade de energia. Ou seja, a pequena quantidade de energia a sair do buraco (Figura \PageIndex{2}) teria, claro, a mesma dependência da temperatura que a intensidade de radiação no interior.

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Figure \PageIndex{4}): Gráfico de uma função da energia total emitida de um corpo negro proporcional à quarta potência da sua temperatura termodinâmica de acordo com a lei Stefan-Boltzmann. (CC -SA-BY 4.0; Nicoguaro).

Exemplo \(\PageIndex{1}}p>A temperatura da superfície do sol é 5700 K.

  1. Quanta energia é irradiada pelo sol?
  2. Dado que a distância à terra é de cerca de 200 raios solares, qual é a potência máxima possível de uma instalação de energia solar de um quilómetro quadrado?

Solução

(a) Primeiro, calculamos a área do sol seguida do fluxo (potência). O sol tem um raio de raio de \( 6,96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \ 96 \

= 6.08 vezes 10^{18} m^2 ^2 ^end{alinhamento*}]

A energia irradiada do sol (via Lei Stefan-Boltzmann) é ^(P = ^sigma T^{4} ^).

\i&= 5,98 ^7 Watts/m^2 {alinhamento*}]

Este valor é por metro quadrado.

(b) Para calcular a potência total irradiada pelo sol é assim:

\i>>&= 3,6 ^{26} vezes 10^{26} Watts {align*}]

Lei de Deslocação de Viena

A segunda observação fenomenológica da experiência foi a Lei de Deslocação de Viena. A lei de Viena identifica o comprimento de onda dominante (pico), ou cor, da luz vinda de um corpo a uma dada temperatura. Como a temperatura do forno varia, também varia a frequência com que a radiação emitida é mais intensa (Figura \PageIndex{3}}). De facto, essa frequência é directamente proporcional à temperatura absoluta:

\\

onde a constante de proporcionalidade é \(5.879 \ ^{10} Hz/K\).

O próprio Viena deduziu esta lei teoricamente em 1893, seguindo o raciocínio termodinâmico de Boltzmann. Tinha sido observada anteriormente, pelo menos semi-quantitativamente, por um astrónomo americano, Langley. Esta mudança ascendente com o T é familiar a todos – quando um ferro é aquecido no fogo (Figura 1), a primeira radiação visível (a cerca de 900 K) é vermelho profundo, a luz visível da mais baixa frequência. Um aumento adicional em T faz com que a cor mude para laranja, depois para amarelo, e finalmente azul a temperaturas muito elevadas (10.000 K ou mais) para as quais o pico da intensidade de radiação se deslocou para além da visível para o ultravioleta.

Outra representação da Lei de Viena (Equação {Eq2}}) em termos do comprimento de onda do pico de luz é

p> onde { T} é a temperatura absoluta em kelvin e b) é uma constante de proporcionalidade chamada constante de deslocamento de Viena, igual a { 2.89 vezes 10^{-3} m, K), ou mais convenientemente para obter comprimento de onda em micrómetros, (b≈2900; μmcdot K). Esta é uma relação inversa entre o comprimento de onda e a temperatura. Portanto, quanto maior for a temperatura, menor ou menor será o comprimento de onda da radiação térmica. Quanto mais baixa a temperatura, maior ou maior o comprimento de onda da radiação térmica. Para radiação visível, os objectos quentes emitem luz mais azul do que os objectos frios.

Exemplo \(\PageIndex{2}}

Se a temperatura corporal superficial for de 90 °F.

  1. Quanta energia radiante em \\(W\, m^{-2}}) emitiria o seu corpo?
  2. Qual é o comprimento de onda de pico da radiação emitida?
  3. Qual é a energia radiante total emitida pelo seu corpo em Watts? Nota: O homem adulto médio tem uma área de superfície corporal de cerca de 1,9 \(m^2\) e a área média de superfície corporal para uma mulher é de cerca de 1,6 \(m^2\).

Solução

(a) 90 °F é 305 K. Usamos a Lei Stefan-Boltzmann (Equação \ref{Eq1}). A quantidade total de radiação emitida será \\( P = \sigma T^4 \).

\ &= 491 W\, m^{-2} ^{-2} ^end{align*}]

O pico do comprimento de onda da radiação emitida é encontrado usando a Lei de Viena:

\ &= \frac{ 2.898 {-3} vezes 10^{-3} m {305 K}{305 K} \\&

= 9,5 vezes 10^{-6} m = 9,5 mu mend{align*}]

A densidade total de energia radiante em Watts é :

p>>texto{Energia}_{texto feminino}_{\i1} &= (491 W\, m^{-2})(1,6 m^{2}) = 786 W {alinhamento*}]

Exemplo {PageIndex{3}): A Temperatura do Sol

Por exemplo, se o Sol tem uma temperatura de superfície de 5700 K, qual é o comprimento de onda da intensidade máxima da radiação solar?

Solução

Se substituirmos 5700 K por { T} na Equação {Eq2a}}, temos

&= 5,1 vezes 10^{-7} \m>P>Saber que a luz violeta tem um comprimento de onda de cerca de 4,0 metros, o amarelo de cerca de 5,6 metros e o vermelho de cerca de 6,6 metros, o que podemos dizer sobre a cor do pico de radiação do Sol? O comprimento de onda do pico da radiação do Sol está num comprimento de onda ligeiramente mais curto do que a cor amarela, por isso é um amarelo ligeiramente esverdeado. Para ver esta tonalidade esverdeada ao Sol, teria de se olhar para ela a partir do espaço. Acontece que a atmosfera da Terra espalha algumas das ondas mais curtas da luz solar, que muda o seu comprimento de onda de pico para amarelo puro.

Rembro que a radiação térmica abrange sempre uma vasta gama de comprimentos de onda (Figura \PageIndex{2}) e Equação \ref{Eq2a} especifica apenas o comprimento de onda único que é o pico do espectro. Assim, embora o Sol pareça branco-amarelado, quando se dispersa a luz solar com um prisma, vê-se radiação com todas as cores do arco-íris. O amarelo representa apenas um comprimento de onda característico da emissão.

Exercício \(\PageIndex{1}})

  1. Em que comprimento de onda é que o Sol emite a maior parte da sua radiação se tiver uma temperatura de 5,778 K?
  2. Em que comprimento de onda é que a Terra emite a maior parte da sua radiação se tiver uma temperatura de 288 K?
  3. /ol> Responder a

    500 nm

    Responder b

    10,0 microns

    A Lei Rayleigh-Jeans

    Lord Rayleigh e J. H. Jeans desenvolveram uma equação que explicava a radiação de corpo negro a baixas frequências. A equação que parecia expressar a radiação de corpo negro foi construída sobre todas as suposições conhecidas da física da época. A grande suposição que Rayleigh e Jean implicaram foi que quantidades infinitesimais de energia eram continuamente adicionadas ao sistema quando a frequência era aumentada. A física clássica assumiu que a energia emitida por oscilações atómicas poderia ter qualquer valor contínuo. Isto era verdade para tudo o que tinha sido estudado até esse ponto, incluindo coisas como aceleração, posição, ou energia. A sua lei Rayleigh-Jeans resultante foi

    &= \dfrac{8 \pi k_B T}{c^3} \nu^2 dnu^2 dnu rótulo{Eq3} \P>P>Os dados experimentais realizados na caixa negra mostraram resultados ligeiramente diferentes dos esperados pela lei Rayleigh-Jeans (Figura {5}). A lei tinha sido estudada e amplamente aceite por muitos físicos da época, mas os resultados experimentais não mentiam, algo era diferente entre o que era teorizado e o que realmente acontece. Os resultados experimentais mostraram uma curva tipo sino, mas de acordo com a lei Rayleigh-Jeans a frequência divergiu à medida que se aproximava da região ultravioleta (Equação {Eq3}}). Ehrenfest chamou mais tarde a isto a “catástrofe ultravioleta”.

    É importante enfatizar que a Equação \\(\ref{Eq3}}) é um resultado clássico: as únicas entradas são a dinâmica clássica e a teoria electromagnética de Maxwell. A carga do oscilador não aparece: o resultado é independente da força de acoplamento entre o oscilador e a radiação, o acoplamento só tem de ser suficientemente forte para assegurar o equilíbrio térmico. A derivação da lei pode ser encontrada aqui.

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    Figure \(\PageIndex{5}}): Relação entre a temperatura de um objecto e o espectro de radiação do corpo negro que emite. A temperaturas relativamente baixas, a maioria da radiação é emitida a comprimentos de onda superiores a 700 nm, que se encontram na porção infravermelha do espectro. O brilho vermelho baço do metal quente na Figura 5 deve-se à pequena quantidade de radiação emitida em comprimentos de onda inferiores a 700 nm, que o olho pode detectar. À medida que a temperatura do objecto aumenta, a intensidade máxima muda para comprimentos de onda mais curtos, resultando sucessivamente em luz laranja, amarela, e finalmente branca. A altas temperaturas, todos os comprimentos de onda da luz visível são emitidos com intensidades aproximadamente iguais. (CC BY-SA-NC).

    Representação diferencial vs. representação integral da distribuição

    Radiação é entendida como uma distribuição contínua de amplitude vs. comprimento de onda ou, equivalentemente, vs. frequência (Figura \PageIndex{5}}). Numa frequência específica \(\nu), de acordo com a lei Rayleigh-Jeans, a radiação é

    >p>>p> Na prática, é difícil medir uma única frequência e estamos mais interessados em intervalos de frequência. Uma frequência exacta é o limite de uma sequência de intervalos cada vez mais pequenos. Se fizermos a suposição de que, para um intervalo suficientemente pequeno, \(ρ(\nu,T)\) não varia, obtemos a sua definição para o diferencial \(dρ(ν,T)\) em Equation \ref{Eq3}:

    A suposição é justa devido à continuidade de \(ρ(\nu,T)\). Esta é a aproximação de um integral num intervalo muito pequeno (dnu) pela altura de um ponto dentro deste intervalo (8pi k_bTnu^2}{c^3}) vezes o seu comprimento (dnu)). Assim, se somarmos uma quantidade infinita de pequenos intervalos como o acima, obtemos um integral. A radiação total entre o {\nu_1} e o {\nu_2} será:

    p>p>p>Observe que o {\nu,T)} é quadrático em {\nu,T}).

    Exemplo \PageIndex{4}: a catástrofe ultravioleta

    Qual é a radiância espectral total de um radiador que segue a lei Rayleigh-Jeans para o seu espectro de emissão?

    Solução

    A radiância espectral total \(\rho_{tot}(T)\) é a emissão combinada sobre todos os comprimentos de onda possíveis (ou equivalente, frequências), que é uma parte integrante sobre a distribuição relevante (Equação \ref{Eq3} para a Lei Rayleigh-Jeans).

    \i>>&

    = \int_0^^\infty \i k_B T}{c^3} \nu^2 d\nu {alinhamento*}]

    mas a integral

    p>>p>p> não converge. Pior, é infinito,

    Hence, a lei Rayleigh-Jeans classicamente derivada prevê que o brilho de um corpo negro é infinito. Uma vez que a radiância é potência por ângulo e área unitária, isto também implica que a potência total e, consequentemente, a energia que um corpo negro emite é infinita, o que é manifestamente absurdo. A isto chama-se a catástrofe ultravioleta porque a previsão absurda é causada pela lei clássica que não prevê correctamente o comportamento em frequências altas/comprimentos de onda pequenos (Figura \PageIndex{5}).

    Contribuidores

    • p>Michael Fowler (Professor de Vigas, Departamento de Física, Universidade da Virgínia)
    • p>David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski (“Quantum States of Atoms and Molecules”)
    • Paul Flowers (University of North Carolina – Pembroke), Klaus Theopold (University of Delaware) e Richard Langley (Stephen F. Austin State University) com autores colaboradores. O conteúdo dos livros produzidos pelo OpenStax College é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. Descarregar gratuitamente em http://cnx.org/contents/85abf193-2bd…[email protected]).

    • ACuriousMind (StackExchange)

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