Guinguette Marais Poitevin

Volgens het standaardverhaal, dat helaas nog steeds in veel natuurkundehandboeken te vinden is, ontstond de kwantumtheorie toen men zich realiseerde dat de klassieke natuurkunde voor zwartelichaamsstraling een energieverdeling voorspelt die sterk afwijkt van die welke experimenteel is gevonden. Aan het eind van de jaren 1890, zo gaat het verhaal verder, ontwikkelde de Duitse natuurkundige Wilhelm Wien een uitdrukking die redelijk overeenkwam met het experiment – maar geen theoretische basis had. Toen Lord Rayleigh en James Jeans vervolgens de straling van zwarte lichamen analyseerden vanuit het perspectief van de klassieke fysica, verschilde het resulterende spectrum drastisch van zowel het experiment als de wet van Wien. Geconfronteerd met deze ernstige anomalie zocht Max Planck naar een oplossing, waarbij hij gedwongen werd het begrip “energiekwanta” in te voeren. Met de kwantumhypothese werd een perfecte overeenstemming tussen theorie en experiment bereikt. Voila! De kwantumtheorie was geboren.

Het verhaal is een mythe, dichter bij een sprookje dan bij de historische waarheid. De kwantumtheorie is niet ontstaan door een mislukking van de klassieke natuurkunde, maar door Plancks diepgaande inzicht in de thermodynamica.

De raadselachtige entropie

Tijdens de laatste jaren van de 19e eeuw voerden veel natuurkundigen een discussie over de geldigheid van het mechanische wereldbeeld, dat tot dan toe als vanzelfsprekend was beschouwd. De vraag die centraal stond in het debat was of de aloude Newtoniaanse mechanica nog steeds kon worden beschouwd als de geldige beschrijving van de gehele natuur.

In deze discussies, die de grondslagen van de natuurkunde betroffen, stonden de elektrodynamica en de thermodynamica centraal. Voor de elektrodynamici was het fundamentele probleem de relatie tussen mechanica en elektrodynamica, of tussen materie en de hypothetische ether. Kunnen de wetten van de mechanica worden herleid tot de elektrodynamica?

De specialisten in thermodynamica, ondertussen, richtten zich op de relatie tussen de wetten van de mechanica en de twee basiswetten van warmte – het principe van behoud van energie en de tweede wet van thermodynamica. In deze discussie werd gekeken naar de status van de statistische-moleculaire fysica en werd dus de fundamentele vraag onderzocht of alle materie uit atomen bestaat. Hoewel de twee discussies veel gemeen hadden, was het vooral de laatste waaruit de kwantumtheorie voortkwam.

Max Karl Ernst Ludwig Planck was zeer geïnteresseerd in – zelfs geobsedeerd door – de tweede wet van de thermodynamica. Volgens deze wet (in een van zijn vele versies) is geen enkel proces mogelijk waarbij het enige resultaat de overdracht van warmte is van een kouder naar een heter lichaam. Met behulp van het begrip entropie, in 1865 geïntroduceerd door Rudolf Clausius, kan de wet zo worden geherformuleerd dat de entropie van een geïsoleerd systeem altijd toeneemt of constant blijft.

Geboren in 1858 als zoon van een professor in de rechtswetenschap, werd Planck in 1889 benoemd tot hoogleraar in de natuurkunde aan de universiteit van Berlijn. Zijn dissertatie aan de Universiteit van München ging over de tweede wet, die ook het onderwerp was van het meeste van zijn werk tot ongeveer 1905. Plancks gedachten concentreerden zich op het begrip entropie en hoe “onomkeerbaarheid” te begrijpen op basis van de absolute geldigheid van de entropiewet – de versie van de tweede wet van de thermodynamica geformuleerd in termen van het entropiebegrip.

In de jaren 1890 spitste het debat over de tweede wet zich toe op de statistische (of probabilistische) interpretatie die Ludwig Boltzmann oorspronkelijk al in 1872 had voorgesteld en in 1877 had uitgebreid. Volgens Boltzmann’s moleculair-mechanische interpretatie is de entropie van een systeem het collectieve resultaat van moleculaire bewegingen. De tweede wet is alleen geldig in statistische zin. Boltzmanns theorie, die het bestaan van atomen en moleculen veronderstelde, werd aangevochten door Wilhelm Ostwald en andere “energetici”, die de natuurkunde wilden bevrijden van het begrip atoom en haar wilden baseren op energie en aanverwante grootheden.

Wat was Plancks standpunt in dit debat? Men zou verwachten dat hij de kant koos van de winnaars, of van degenen die al snel de winnaars bleken te zijn – namelijk Boltzmann en de “atomisten”. Maar dat was niet het geval. Omdat Planck geloofde in de absolute geldigheid van de tweede wet, verwierp hij niet alleen Boltzmanns statistische versie van de thermodynamica, maar twijfelde hij ook aan de atomaire hypothese waarop deze berustte. Al in 1882 concludeerde Planck dat de atomaire opvatting van materie onverzoenbaar was met de wet van de entropietoename. “Er zal een strijd komen tussen deze twee hypothesen die het leven van een van hen zal veroorzaken,” voorspelde hij. Over de uitkomst van de strijd schreef hij dat “ondanks de grote successen van de atomistische theorie in het verleden, wij deze uiteindelijk zullen moeten opgeven en moeten beslissen ten gunste van de aanname van continue materie”.

Hoewel Plancks verzet tegen het atomisme in de loop van de jaren 1890 afnam, toen hij zich de kracht van de hypothese realiseerde en de eenwording die deze bracht in een verscheidenheid van fysische en chemische verschijnselen. Toch bleef zijn houding tegenover het atomisme dubbelzinnig en bleef hij voorrang geven aan de macroscopische thermodynamica en de statistische theorie van Boltzmann negeren. Tegen 1895 was hij zelfs bereid een groot onderzoeksprogramma te starten om de thermodynamische onomkeerbaarheid te bepalen in termen van een micromechanisch of micro-elektrodynamisch model dat niet expliciet de atoomhypothese inhield. Het programma bracht niet alleen Plancks diepe belangstelling voor het begrip entropie tot uitdrukking, maar gaf ook blijk van zijn “aristocratische” houding ten opzichte van de fysica: hij concentreerde zich op de fundamentele aspecten en liet meer alledaagse, toegepaste ideeën links liggen. Zijn fascinatie voor entropie, die door slechts een handvol andere natuurkundigen werd gedeeld, werd niet van centraal belang geacht of van belang om belangrijke resultaten op te leveren. En toch gebeurde dat.

Zwarte-lichaamsstraling

Vanuit het perspectief van Planck en zijn tijdgenoten was het natuurlijk om een verklaring te zoeken voor de entropiewet in de elektrodynamica van Maxwell. De theorie van Maxwell was immers fundamenteel en werd verondersteld het gedrag te bepalen van de microscopische oscillatoren die de warmtestraling produceerden die door zwarte lichamen werd uitgezonden. Planck geloofde aanvankelijk dat hij de onomkeerbaarheid van stralingsprocessen had gerechtvaardigd door het gebrek aan tijdsymmetrie in Maxwells vergelijkingen – d.w.z. dat de wetten van de elektrodynamica onderscheid maken tussen verleden en heden, tussen voorwaarts en achterwaarts gaande tijd. In 1897 maakte Boltzmann echter korte metten met dit argument. De elektrodynamica, zo toonde Boltzmann aan, biedt niet meer een “pijl van de tijd” dan de mechanica. Planck moest een andere manier vinden om onomkeerbaarheid te rechtvaardigen.

De studie van straling van zwarte lichamen was begonnen in 1859, toen Robert Kirchhoff, Plancks voorganger als professor in de natuurkunde in Berlijn, betoogde dat dergelijke straling van fundamentele aard was. Tegen de jaren 1890 onderzochten verschillende natuurkundigen – zowel experimentelen als theoretici – de spectrale verdeling van de straling. Belangrijke vooruitgang werd geboekt in 1896 toen Wien een stralingswet vond die overtuigend overeenkwam met de nauwkeurige metingen die werden verricht aan de Physikalisch-Technische Reichsanstalt in Berlijn.

Volgens Wien hing de spectrale dichtheid, u, – de stralingsenergiedichtheid per eenheid van frequentie – af van de frequentie, f, en de temperatuur, T, volgens de formule u(f,T) = af3exp(bf/T)-1, waarbij a en b constanten zijn die empirisch bepaald moeten worden. De wet van Wien ontbeerde echter een bevredigende theoretische basis en was daarom voor Planck niet aanvaardbaar. Het is belangrijk op te merken dat Plancks ontevredenheid niet geworteld was in Wien’s formule – die hij volledig aanvaardde – maar in Wien’s afleiding ervan. Planck was niet geïnteresseerd in het produceren van een empirisch correcte wet, maar in het opstellen van een rigoureuze afleiding ervan. Op deze manier, zo geloofde hij, zou hij in staat zijn om de entropiewet te rechtvaardigen.

Geleid door Boltzmann’s kinetische theorie van gassen, formuleerde Planck wat hij noemde een “principe van elementaire wanorde” dat noch op mechanica noch op elektrodynamica berustte. Hij gebruikte het om de entropie van een ideale oscillator (dipool) te definiëren, maar was voorzichtig om dergelijke oscillatoren niet te identificeren met specifieke atomen of moleculen. In 1899 vond Planck een uitdrukking voor de oscillator entropie waaruit de wet van Wien volgde. De wet (soms aangeduid als de wet van Wien-Planck) had nu een fundamentele status gekregen. Planck was tevreden. De wet had immers de extra kwalificatie dat hij prachtig overeenkwam met metingen. Althans, dat dacht men.

Discrepantie met theorie

De harmonie tussen theorie en experiment duurde niet lang. Tot Planck’s verbijstering bleek uit experimenten in Berlijn dat de wet van Wien-Planck het spectrum bij zeer lage frequenties niet juist beschreef. Er was iets misgegaan, en Planck moest terug naar zijn bureau om te heroverwegen waarom de schijnbaar fundamentele afleiding een onjuist resultaat had opgeleverd. Het probleem, zo leek het hem, lag in de definitie van de entropie van de oscillator.

Met een herziene uitdrukking voor de entropie van een enkele oscillator verkreeg Planck een nieuwe verdelingswet die hij op 19 oktober 1900 presenteerde op een bijeenkomst van het Duitse Natuurkundig Genootschap. De spectrale verdeling werd nu gegeven als u(f,T) = af3-1, die de wet van Wien benadert bij relatief hoge frequenties. Interessanter is dat deze eerste versie van de beroemde stralingswet van Planck ook perfect overeenkwam met het experimentele spectrum in het infrarode gebied met lagere frequenties. Hoewel de wet een constante b bevatte die volgens Planck fundamenteel was, was de latere verschuiving van b naar h meer dan alleen maar een heretikettering. Plancks afleiding maakte geen gebruik van energiekwantisering en berustte evenmin op Boltzmanns probabilistische interpretatie van entropie.

Die ontwikkelingen zouden twee maanden later plaatsvinden in “een wanhoopsdaad”, zoals Planck zich later herinnerde. Alvorens tot deze wanhoopsdaad over te gaan, moeten wij de wet van Rayleigh-Jeans en de zogenaamde “ultraviolette catastrofe” beschouwen, al was het maar om deze als historisch irrelevant terzijde te schuiven. In juni 1900 wees Rayleigh erop dat de klassieke mechanica, wanneer toegepast op de oscillatoren van een zwart lichaam, leidt tot een energieverdeling die toeneemt in verhouding tot het kwadraat van de frequentie – volkomen in strijd met de gegevens. Hij baseerde zijn redenering op de zogenaamde equipartitietheorie, waaruit volgt dat de gemiddelde energie van de oscillatoren waaruit een zwart lichaam bestaat, wordt gegeven door kT, waarbij k de constante van Boltzmann is.

Vijf jaar later presenteerden Rayleigh en Jeans wat nu nog bekend staat als de Rayleigh-Jeans formule, gewoonlijk geschreven als u(f,T) = (8 pi f2/c3)kT, waarbij c de lichtsnelheid is. Het resultaat is een energiedichtheid die blijft toenemen naarmate de frequentie hoger en hoger wordt, en die “catastrofaal” wordt in het ultraviolette gebied. Ondanks zijn prominente rol in natuurkundige leerboeken speelde de formule geen enkele rol in de vroegste fase van de kwantumtheorie. Planck accepteerde de equipartitietheorema niet als fundamenteel en negeerde het daarom. Overigens beschouwden Rayleigh en Jeans de stelling evenmin als universeel geldig. De “ultraviolette catastrofe” – een naam bedacht door Paul Ehrenfest in 1911 – werd pas in een latere fase van de kwantumtheorie een punt van discussie.

In november 1900 realiseerde Planck zich dat zijn nieuwe entropie-uitdrukking nauwelijks meer was dan een ingegeven gok. Om tot een meer fundamentele afleiding te komen, wendde hij zich nu tot Boltzmanns probabilistische begrip van entropie, dat hij zo lang had genegeerd. Maar hoewel Planck nu Boltzmanns zienswijze overnam, bekeerde hij zich niet volledig tot de denkwijze van de Oostenrijkse fysicus. Hij bleef ervan overtuigd dat de entropiewet absoluut was – en niet inherent probabilistisch – en herinterpreteerde daarom Boltzmann’s theorie op zijn eigen niet-probabilistische manier. In deze periode stelde hij voor het eerst wat sindsdien bekend is geworden als de “Boltzmann-vergelijking” S = k log W, die de entropie, S, relateert aan de moleculaire wanorde, W.

Om W te vinden, moest Planck in staat zijn het aantal manieren te tellen waarop een gegeven energie kan worden verdeeld over een verzameling oscillatoren. Om deze telprocedure te vinden introduceerde Planck, geïnspireerd door Boltzmann, wat hij “energie-elementen” noemde, namelijk de aanname dat de totale energie van de zwarte-lichaamsoscillatoren, E, wordt verdeeld in eindige energieporties, epsilon, via een proces dat bekend staat als “quantisatie”. In zijn baanbrekende artikel dat eind 1900 werd gepubliceerd en op 14 december – deze maand 100 jaar geleden – aan de Duitse Natuurkundige Vereniging werd gepresenteerd, beschouwde Planck de energie “als bestaande uit een volledig bepaald aantal eindige gelijke delen, en voor dit doel gebruik ik de natuurconstante h = 6,55 x 10-27 (erg sec)”. Bovendien, vervolgde hij, “geeft deze constante, eenmaal vermenigvuldigd met de gemeenschappelijke frequentie van de resonatoren, het energie-element epsilon in ergs, en door deling van E door epsilon krijgen we het aantal P van energie-elementen te verdelen over de N resonatoren”.

Kwantumtheorie was geboren. Of toch niet? De constante van Planck was toch verschenen, met hetzelfde symbool en ongeveer dezelfde waarde als vandaag de dag wordt gebruikt. Maar de essentie van de kwantumtheorie is kwantisering van energie, en het is verre van evident dat Planck dit voor ogen had. Zoals hij in een in 1931 geschreven brief verklaarde, was de invoering van energiekwanta in 1900 “een zuiver formele veronderstelling en ik heb er echt niet veel over nagedacht, behalve dat ik, koste wat het kost, een positief resultaat tot stand moest brengen”. Planck legde geen nadruk op het discrete karakter van energieprocessen en maakte zich geen zorgen over het gedetailleerde gedrag van zijn abstracte oscillatoren. Veel interessanter dan de kwantumdiscontinuïteit (wat die ook mocht betekenen) was de indrukwekkende nauwkeurigheid van de nieuwe stralingswet en de natuurconstanten die erin voorkwamen.

Een conservatieve revolutionair

Als er in december 1900 een revolutie in de natuurkunde plaatsvond, leek niemand die op te merken. Planck was daarop geen uitzondering, en het belang dat aan zijn werk wordt toegekend is grotendeels een historische reconstructie. Terwijl Plancks stralingswet snel werd geaccepteerd, werd wat wij vandaag de dag als conceptuele nieuwigheid beschouwen – de basis ervan in energiekwantisering – nauwelijks opgemerkt. Zeer weinig natuurkundigen toonden belangstelling voor de rechtvaardiging van Plancks formule, en in de eerste jaren van de 20e eeuw was niemand van mening dat zijn resultaten in strijd waren met de grondslagen van de klassieke natuurkunde. Wat Planck zelf betreft, hij deed er alles aan om zijn theorie op de solide grond van de klassieke natuurkunde te houden, waar hij zo van hield. Net als Copernicus werd Planck tegen zijn zin een revolutionair.

Planck was het archetype van de klassieke geest, een nobel product van zijn tijd en cultuur. Gedurende zijn hele carrière als natuurkundige en wetenschapsman hield hij vol dat het uiteindelijke doel van de wetenschap een verenigd wereldbeeld was, gebouwd op absolute en universele wetten van de wetenschap. Hij was er vast van overtuigd dat dergelijke wetten bestonden en dat zij de innerlijke mechanismen van de natuur weerspiegelden, een objectieve werkelijkheid waarin geen plaats was voor menselijke gedachten en passies. De tweede wet van de thermodynamica was altijd zijn favoriete voorbeeld van hoe een natuurkundige wet geleidelijk kon worden bevrijd van antropomorfe associaties en kon worden omgevormd tot een zuiver objectieve en universele wet. Na 1900 erkende hij in toenemende mate Boltzmann’s probabilistische entropiewet als groots en fundamenteel, maar hij aanvaardde de centrale boodschap ervan, dat er een eindige (zij het uiterst kleine) waarschijnlijkheid is dat de entropie van een geïsoleerd systeem in de loop van de tijd afneemt, niet. Pas rond 1912 gaf hij dit laatste voorbehoud op en aanvaardde hij de werkelijk statistische aard van de tweede wet.

Wat betreft de kwantumdiscontinuïteit – het cruciale kenmerk dat de energie niet continu varieert, maar in “sprongen” – was hij lange tijd van mening dat het een soort wiskundige hypothese was, een artefact dat niet verwees naar echte energie-uitwisselingen tussen materie en straling. Vanuit zijn standpunt was er geen reden om een breuk in de wetten van de klassieke mechanica en de elektrodynamica te vermoeden. Dat Planck zijn theorie niet als een drastische afwijking van de klassieke fysica beschouwde, wordt ook geïllustreerd door zijn vreemde stilzwijgen: tussen 1901 en 1906 publiceerde hij helemaal niets over zwarte-lichaamsstraling of quantumtheorie. Pas rond 1908, in hoge mate beïnvloed door de indringende analyse van de Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz, bekeerde Planck zich tot het standpunt dat het kwantum van actie een onherleidbaar fenomeen vertegenwoordigt dat het begrip van de klassieke natuurkunde te boven gaat.

In de loop van de volgende drie jaar raakte Planck ervan overtuigd dat de kwantumtheorie het begin markeerde van een nieuw hoofdstuk in de geschiedenis van de natuurkunde en in die zin van revolutionaire aard was. “De hypothese van de quanta zal nooit uit de wereld verdwijnen,” verklaarde hij trots in een lezing van 1911. “Ik geloof niet dat ik te ver ga als ik de mening uitspreek dat met deze hypothese de basis is gelegd voor de constructie van een theorie die ooit voorbestemd zal zijn om de snelle en delicate gebeurtenissen van de moleculaire wereld met een nieuw licht te doordringen.”

Einstein: de echte grondlegger van de kwantumtheorie?

Dus is december 2000 het juiste moment om het eeuwfeest van de kwantumtheorie te vieren? Met andere woorden, heeft Planck de quantumhypothese echt een eeuw geleden geïntroduceerd? De historicus en wetenschapsfilosoof Thomas Kuhn, die Plancks weg naar de wet van de zwartelichamelijke straling en de nasleep daarvan zorgvuldig heeft geanalyseerd, vond zeker dat Planck de eer niet verdient (zie verder lezen).

Echter, er zijn bewijzen voor en tegen Kuhns controversiële interpretatie, waarover veel is gediscussieerd door historici van de natuurkunde. Er valt veel voor te zeggen om nog een paar jaar te wachten met de viering van het eeuwfeest van het kwantum. Aan de andere kant valt er wel wat voor te zeggen en is het natuurlijk niet onredelijk om 2000 als eeuwfeest te kiezen en Planck als de vader van de kwantumtheorie. Bovendien bestaat er een lange traditie om het vaderschap toe te kennen aan Planck, die tenslotte in 1918 de Nobelprijs voor natuurkunde ontving voor “zijn ontdekking van energiekwanta”. Jubilea en soortgelijke vieringen versterken tradities, ze stellen ze niet ter discussie.

Zoals Kuhn opmerkt, heeft Planck nergens in zijn geschriften van 1900 en 1901 duidelijk geschreven dat de energie van een enkele oscillator alleen discrete energieën kan bereiken volgens E = n epsilon= nhf, waarbij n een geheel getal is. Als hij dit bedoelde, waarom zei hij dat dan niet? En als hij besefte dat hij energiekwantisering had geïntroduceerd – een vreemd, niet-klassiek concept – waarom zweeg hij dan meer dan vier jaar lang? Bovendien pleitte Planck in zijn Lectures on the Theory of Thermal Radiation uit 1906 voor een continuümtheorie waarin geen melding werd gemaakt van discrete oscillator-energie. Als hij al in 1900 “het licht had gezien” – zoals hij later beweerde – waarom veranderde hij dan zes jaar later van mening? Zou het antwoord kunnen zijn dat hij niet van gedachten was veranderd omdat hij het licht niet had gezien?

Dit zijn slechts enkele van de argumenten die naar voren zijn gebracht door Kuhn en de natuurhistorici die zijn zaak ondersteunen. Net als historische argumenten in het algemeen berust de controverse over de kwantumdiscontinuïteit op een reeks bewijzen en tegenbewijzen die alleen kwalitatief en als geheel kunnen worden beoordeeld, niet vast te stellen op de eenduidige manier die we uit de natuurkunde (of liever uit sommige natuurkunde-lesboeken) kennen.

Als Planck in 1900 de hypothese van de energiekwanta niet introduceerde, wie dan wel? Lorentz en zelfs Boltzmann zijn genoemd als kandidaten, maar er kan veel sterker worden betoogd dat het Einstein was die als eerste de essentie van de kwantumtheorie onderkende. Einsteins opmerkelijke bijdragen aan de beginfase van de kwantumtheorie zijn welbekend en onomstreden. Het beroemdst is zijn theorie van lichtquanta (of fotonen) uit 1905, maar hij leverde ook belangrijke bijdragen in 1907 aan de kwantumtheorie van de soortelijke warmte van vaste stoffen en in 1909 aan energiefluctuaties.

Het lijdt geen twijfel dat de jonge Einstein dieper keek dan Planck, en dat Einstein als enige inzag dat de kwantumdiscontinuïteit een essentieel onderdeel vormde van Plancks theorie van zwartelichaamsstraling. Of dit Einstein tot “de ware ontdekker van de kwantumdiscontinuïteit” maakt, zoals de Franse natuurkundehistoricus Olivier Darrigol beweert, is een andere zaak. Wat belangrijk is, is dat de rol van Planck in de ontdekking van de kwantumtheorie complex en enigszins dubbelzinnig was. Hem alleen met de ontdekking belasten, zoals in sommige natuurkundehandboeken wordt gedaan, is veel te simplistisch. Andere natuurkundigen, en met name Einstein, waren van cruciaal belang bij de totstandkoming van de kwantumtheorie. De “ontdekking” moet worden gezien als een uitgebreid proces en niet als een moment van inzicht dat op een bepaalde dag eind 1900 werd medegedeeld.

Einsteins theorie van specifieke warmte was in 1907 een belangrijk element in het proces dat de kwantumtheorie tot een belangrijk gebied van de fysica maakte. De veranderde status van de kwantumtheorie werd institutioneel erkend met de eerste Solvay-conferentie van 1911, over “stralingstheorie en de kwanta”, een gebeurtenis die de aanloopfase van de kwantumtheorie inluidde. De deelnemers in Brussel beseften dat met de kwantumtheorie de loop van de fysica op het punt stond te veranderen. Waarheen de ontwikkeling zou leiden, kon niemand zeggen. Men geloofde bijvoorbeeld niet dat de kwantumtheorie iets te maken had met de atoomstructuur. Twee jaar later, met de komst van de atoomtheorie van Niels Bohr, nam de kwantumtheorie een nieuwe wending die uiteindelijk zou leiden tot de kwantummechanica en een nieuw fundament onder het wereldbeeld van de natuurkundigen.

De wegen van de geschiedenis zijn inderdaad onvoorspelbaar.