Burke’s eerste rol was die van Roland in 1999 in Dragonheart: A New Beginning, een direct-to-video vervolg op de film Dragonheart uit 1996. In dat jaar verscheen hij ook in een aflevering van de serie Dangerfield en de televisiefilm All the King’s Men. Na zijn afstuderen aan de RADA ging hij gestaag aan de slag in televisie, film en theater.
TelevisieEdit
Zijn eerste televisie-rol na de toneelschool was Syd in de Paul Abbott thrillerserie State of Play, met John Simm, Bill Nighy en James McAvoy in de hoofdrollen. In 2004 speelde hij Lee in de tv-film Bella and the Boys. In 2005 speelde hij de 20-jarige versie van Giacomo Casanova’s zoon, Giac, in de televisiebewerking van Casanova, met David Tennant en Peter O’Toole in de hoofdrollen.
In 2006 speelde hij Dr. John Seward in de tv-film Dracula. In 2007 speelde hij Napoleon Bonaparte in een aflevering van BBC’s docudrama Heroes and Villains en had hij een kleine rol als boekuitgever in het satirische drama The Trial of Tony Blair. In 2009 speelde hij luitenant Race in een aflevering van de 12e serie van Agatha Christie’s Poirot. In 2011 speelde hij Bentley Drummle in twee afleveringen van BBC’s bewerking van Charles Dickens’ Great Expectations. In 2012 werd hij een vast castlid in de tweede reeks van BBC Two’s The Hour waarin hij de rol van journalist Bill Kendall speelde. Van 2014 tot 2016 speelde hij Athos in de BBC One-serie The Musketeers, een bewerking van The Three Musketeers van Alexandre Dumas. Ook speelt hij Cormoran Strike in de BBC miniserie Strike, gebaseerd op de detectiveromans van Robert Galbraith (J.K. Rowling).
FilmsEdit
In 2004 had hij zijn eerste bioscooprol in The Libertine. In 2007 speelde hij een aspirant filmmaker die eindigt met het regisseren van een pornofilm in de komedie I Want Candy. In 2008 speelde hij Bluey in Donkey Punch, een horror thriller die debuteerde op het Sundance Film Festival 2008. In 2009 speelde hij Geoff Goddard in Telstar: The Joe Meek Story. In datzelfde jaar had hij een kleine rol in Chéri van Stephen Frears. In 2010 speelde hij Davy in Third Star, een drama met Benedict Cumberbatch, JJ Feild en Adam Robertson in de hoofdrollen, dat de reis volgt die vier vrienden, van wie er een terminaal ziek is, maken naar Barafundle Bay in Wales.
In 2012 speelde hij Mark in Cleanskin. In 2013 speelde hij Billy, de oudere broer van Ryan Gosling’s personage in Only God Forgives, geregisseerd door Nicolas Winding Refn. In datzelfde jaar had hij een bijrol in de door Ralph Fiennes geregisseerde film The Invisible Woman.
In 2020 speelt hij de Amerikaanse filmmaker Orson Welles in David Finchers Netflix original film Mank, tegenover Gary Oldman als Herman J. Mankiewicz. Hij zal ook de hoofdrol spelen in de film The Show van de Engelse regisseur en fotograaf Mitch Jenkins (geschreven door Alan Moore) als privédetective Fletcher Dennis.
TheaterEdit
Als theateracteur werkte Burke met de Royal Shakespeare Company en was hij te zien in Shakespeare’s Globe, waar hij Romeo speelde in Romeo and Juliet in 2004; in de Old Vic in Noël Cowards Design for Living tegenover Andrew Scott en Lisa Dillon in 2010; en in het Almeida Theatre speelde hij Greg in reasons to be pretty in 2011. In 2002 speelde hij Hamlet in Howard Barker’s Gertrude – The Cry, een herbewerking van Shakespeare’s Hamlet die zich concentreert op het personage van Gertrude, de moeder van de hoofdpersoon.
In 2006 werkte hij samen met Ian McKellen in het toneelstuk The Cut. In 2008 speelde hij Adolph in Creditors in het Donmar Warehouse. Acteur Alan Rickman, Burke’s peetvader, ensceneerde het stuk, dat Burke een Ian Charleson Award opleverde. Het stuk ging vervolgens in première in de Brooklyn Academy of Music in New York in 2010. In 2012 speelde hij Louis Dubedat in The Doctor’s Dilemma in het National Theatre.