Burkes erste Rolle war die des Roland in „Dragonheart“ von 1999: A New Beginning, einer Direct-to-Video-Fortsetzung des Films Dragonheart von 1996. Im selben Jahr trat er in einer Episode der Serie Dangerfield und dem Fernsehfilm All the King’s Men auf. Nach seinem Abschluss an der RADA begann er, kontinuierlich in Fernsehen, Film und Theater zu arbeiten.
Fernsehen
Seine erste Fernsehrolle nach der Schauspielschule war Syd in der Paul Abbott-Thrillerserie State of Play, mit John Simm, Bill Nighy und James McAvoy in den Hauptrollen. 2004 spielte er Lee in dem TV-Film Bella and the Boys. 2005 spielte er die 20-jährige Version von Giacomo Casanovas Sohn, Giac, in der Fernsehadaption von Casanova, mit David Tennant und Peter O’Toole in den Hauptrollen.
2006 spielte er Dr. John Seward in dem Fernsehfilm Dracula. 2007 spielte er Napoleon Bonaparte in einer Episode des BBC-Dokudramas Heroes and Villains und hatte eine kleine Rolle als Buchverleger in dem satirischen Drama The Trial of Tony Blair. Im Jahr 2009 spielte er Lieutenant Race in einer Folge der 12. Staffel von Agatha Christies Poirot. Im Jahr 2011 spielte er Bentley Drummle in zwei Episoden der BBC-Adaption von Charles Dickens‘ Great Expectations. Im Jahr 2012 wurde er ein regelmäßiges Besetzungsmitglied in der zweiten Staffel von BBC Two’s The Hour und spielte die Rolle des Journalisten Bill Kendall. Von 2014 bis 2016 spielte er Athos in der BBC One-Serie The Musketeers, einer Adaption von Alexandre Dumas‘ The Three Musketeers. Außerdem spielt er Cormoran Strike in der BBC-Miniserie Strike, die auf den Detektivromanen von Robert Galbraith (J.K. Rowling) basiert.
FilmEdit
Im Jahr 2004 hatte er seine erste Kinorolle in The Libertine. 2007 spielte er in der Komödie I Want Candy einen aufstrebenden Filmemacher, der damit endet, bei einem Pornofilm Regie zu führen. 2008 spielte er Bluey in Donkey Punch, einem Horrorthriller, der auf dem Sundance Film Festival 2008 debütierte. Im Jahr 2009 spielte er Geoff Goddard in Telstar: The Joe Meek Story. Im selben Jahr hatte er eine kleine Rolle in Stephen Frears‘ Chéri. 2010 spielte er Davy in Third Star, einem Drama mit Benedict Cumberbatch, JJ Feild und Adam Robertson in den Hauptrollen, das einer Reise folgt, die vier Freunde, einer von ihnen todkrank, nach Barafundle Bay in Wales unternehmen.
2012 spielte er Mark in Cleanskin. 2013 spielte er Billy, den älteren Bruder von Ryan Goslings Charakter in Only God Forgives unter der Regie von Nicolas Winding Refn. Im selben Jahr hatte er eine Nebenrolle in dem von Ralph Fiennes inszenierten Film The Invisible Woman.
Im Jahr 2020 spielte er den amerikanischen Filmemacher Orson Welles in David Finchers Netflix-Originalfilm Mank, gegenüber Gary Oldman als Herman J. Mankiewicz. Außerdem wird er in dem englischen Film The Show des Regisseurs und Fotografen Mitch Jenkins (geschrieben von Alan Moore) als Privatdetektiv Fletcher Dennis zu sehen sein.
TheaterEdit
Als Theaterschauspieler hat Burke mit der Royal Shakespeare Company zusammengearbeitet und war in Stücken am Shakespeare’s Globe zu sehen, wo er 2004 den Romeo in Romeo und Julia spielte, 2010 am Old Vic in Noël Cowards Design for Living an der Seite von Andrew Scott und Lisa Dillon, und 2011 am Almeida Theatre in der Rolle des Greg in reasons to be pretty. 2002 spielte er Hamlet in Howard Barkers Gertrude – The Cry, einer Neubearbeitung von Shakespeares Hamlet, die sich auf die Figur der Gertrude, der Mutter des Protagonisten, konzentriert.
2006 arbeitete er mit Ian McKellen in dem Stück The Cut. 2008 spielte er Adolph in Creditors im Donmar Warehouse. Der Schauspieler Alan Rickman, Burkes Patenonkel, inszenierte das Stück, das Burke einen Ian Charleson Award einbrachte. Das Stück wurde anschließend 2010 an der Brooklyn Academy of Music in New York uraufgeführt. Im Jahr 2012 spielte er Louis Dubedat in The Doctor’s Dilemma am National Theatre.